Тиетта. 2013, N 2 (24).

детстве. Здесь ощущается невидимый психологи­ ческий рубеж. Кто-то играет устойчивыми пира­ мидками и кубиками - и вырастает подготовлен­ ным к детерминированной природе и стабиль­ ной экономике. Другой упорно строит падаю­ щие башни - и вырастает готовым к стохастиче­ ской природе и экономическим кризисам. Если угодно - два различных мировоззрения. Возмож­ но, я утрирую, но сказанное кажется мне важным даже в дискуссионной форме, как тест на интуи­ цию. Что вам больше нравится, симметрия или асимметрия, покой или движение? Впрочем, да­ лее речь пойдёт не о детской педагогике или пси­ хологии творчества, а о симметрии и асимме­ трии в объектах природы. Тема сложна, даже не­ подъёмна для одной научно-популярной статьи. Но давайте хотя бы прикоснёмся к ней. исходные понятия и неожиданные ре­ зультаты. В рассуждениях о симметрии и асим­ метрии для наглядности используем выпуклые полиэдры, подсказанные игрой Tumi-ishi. Потому что они наглядным образом организованы из гра­ ней, пересекающихся по рёбрам, встречающим­ ся в вершинах. Потому что они пробуждают пред­ ставления о кристаллах минералов и тем самым перебрасывают смысловой мост от математиче­ ских абстракций к объектам природы. Потому что выпуклый полиэдр, рассмотренный как 3-связный планарный граф, допускает много других интер­ претаций и приложений. Говоря о симметрии, бу­ дем подразумевать комбинаторную (топологиче­ скую) симметрию самого симметричного полиэ­ дра данного комбинаторного типа. Под послед­ ним будем понимать принцип устройства поли­ эдра из данного набора граней. Ясно, что в каж­ дом комбинаторном типе содержится бесконеч­ ное число полиэдров. Удобно заменить их самым симметричным представителем с точностью до подобия, а набор его граней выразить символом <n3n4 ... nk> - кортежем чисел k-угольных граней. Несмотря на кажущуюся ясность категории симметрии, её не просто определить по сути. Обычно под симметрией конечной формы пони­ мают её составленносгь из равных частей. Неко­ торым движением, физически реализуемым (по­ вороты) или не реализуемым (отражения), одна часть формы переводится (или вовсе не перево­ дится) в другую. Группа (понимаемая в точном алгебраическом смысле) движений, переводящих форму в себя, и характеризует её симметрию. Что касается асимметрии, то сегодня не существу­ ет иного способа определить её иначе, как через отрицание симметрии. Интуиция подсказывает, что она фундаментальным образом связана с дви­ жением, неустойчивостью и должна быть приспо­ соблена к описанию именно этих функций при­ родных систем. Первый и удручающий результат на сегодня состоит в том, что по символу < . > в общем случае даже нельзя сказать, существует ли соответствую­ щий полиэдр. Есть теоремы, утверждающие об­ ратное - каких полиэдров быть не может. Так, те­ орема Эйлера говорит, что нет выпуклого полиэ­ дра, на котором одновременно отсутствовали бы 3-, 4- и 5-угольные грани. Другая теорема говорит, что на каждом выпуклом полиэдре обязаны при­ Таблица 1. Числа комбинаторных типов n-эдров с v вершинами. Table 1. Numbers of n-hedra combinatorial types with v vertexes. in, v ^ 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 1 5 1 1 6 1 2 2 2 7 2 8 11 8 5 8 2 11 42 74 76 38 14 9 8 74 296 633 768 558 219 50 10 5 76 633 2635 6134 8822 7916 4442 1404 233 11 38 768 6134 25626 64439 104213 112082 79773 36528 12 14 558 8822 64439 268394 709302 1263032 1556952 1338853 Таблица 1 (продолжение, continued). in, v ^ 16 17 18 19 20 22 24 26 28 10 233 11 36528 9714 1249 12 1338853 789749 306470 70454 7595 13 49566 14 339722 15 2406841 16 17490241 2