Тиетта. 2012, N 4 (22).

д а личных 6-гранников, 2 из них - с 8 вершинами [4, с. 15]. Ещ ё менее информативны имена «окта­ эдр» и «додекаэдр», ведь 8-гранников 257, а 12-гранников 6384634 [Ibid., с. 16-19, 390-832]. Среди «эдров» однозначно лишь одно имя - «тетраэдр». Д а и то потом у только, что есть единственный по­ лиэдр с 4 гранями, все 3-угольные и сходятся по 3 в каждой из 4 вершин. Предельная простота под­ чёркивается его другим именем - симплекс. А вот ромбододекаэдр . Он замечательно проявлен на кристаллах альмандина из м есто ­ рождений г. Макзапахк и г. Берёзовой в Зап . Кей ­ вах на Кольском п-ове (рис.). Нравится вам это имя? Оно говорит о том , что у поли эдра 12 (до- дека) граней, все они - ромбы . Эта элегантная простая ф орма легко запоминается студентами. А если отвлечься от строгих метрических соотно­ шений, то можно ли её с чем-нибудь спутать? Есть ли другие 12-эдры , у которых все грани 4-уголь­ ные? Оказывается, их 11 (рис.) [Ibid., с. 520-521]: 2 №№ 1-3, m №№ 4-5, 222 № 6, mm2 № 7, -3m № 8, -6m2 № 9, -12 2m № 10, m3m № 11. П о то­ чечной группе симметрии легко догадаться, что «наш» прячется под № 11. А вот пентагондодека- эдр , то есть 12-эдр со всеми 5-угольными гранями, уникален [Ibid., с. 778, 782]. И всё равно это пло­ хое имя, поскольку не из него следуют единствен­ ность и тип устрой ства полиэдра. Целый ряд кристаллических полиэдров но­ сит «конструктивистские» имена, например, пен- тагонтриоктаэдр, гексоктаэдр и тетрагексаэдр (рис.). У первого все грани - пентагоны, по 3 вос­ становленные над гранями октаэдрического кар­ каса. У гексоктаэдра все грани - треугольники, по 6 восстановленные над тем же октаэдрическим каркасом . У тетрагексаэдра все грани - тоже тре­ угольники, по 4 восстановленные над каркасом куба (гексаэдра). И з второго и третьего имён вы­ пало указание на треугольный характер граней. И х полные имена - тригонгексоктаэдр и тригон- тетрагексаэдр. Предлагаю читателям рассмотреть имена оставшихся простых форм и убедиться в том , что все они принадлежат указанным классам : служа ярлыками (не говоря ничего о строении по­ лиэдра), указывая на элементы строения (чаще всего не однозначно), указывая спо соб устройства (где это наглядно). Есть ли более рациональные способы име­ нования выпуклых полиэдров? Предлагаю два существенно различных способа. Первый осно­ ван на описании полиэдров м атрицами смеж ­ ности. Представьте себе тетраэдр. Понумеруйте его вершины в любом порядке цифрами от 1 до 4. Заполните м атрицу р азм ером 4 х 4 единицами и нулями по следующ ему правилу: если i-я и j-я вершины соединены ребром , то в положении (i, j) ставьте 1, в противном случае - 0. Ясно, что м атри ­ ца симметрична относительно главной диагона­ ли, на которой стоят нули. Она полностью задана верхним треугольником . Что получили для тетра­ эдра? Одни единицы! Выписывайте их построчно - это и есть имя тетр аэдра в двоичной системе счисления: 111111. (Оно кажется вам длинным? Вспомните полные имена Новалиса и Кювье!) В десятичной си стеме ем у соответствует число 63. В силу высокой симметрии тетр аэдра все способы нумерации вершин эквивалентны, имя - единственно. Все остальные полиэдры допуска­ ют нумерации вершин, приводящие к различным именам . (Докажите это для разминки.) Так, есть всего два комбинаторных типа выпуклых 5-эдров: 4-гранная пирамида и 3-гранная призма. У пер­ вой - 15 (507, 509, 510, 751, 759, 766, 863, 887, 893, 927, 943, 955, 990, 1005, 1011), у второй - 60 различ­ ных имён. (Убедитесь в этом , чтобы оценить стои ­ мость информации , заключённой в предыдущем предложении.) Н о какие выбрать? Естественно - самое простое, и тогда имя 4-гранной пирами ­ ды - 507. Чтобы узнать имя 3-гранной призмы , не обязательно перебирать все нумерации вершин. 24