Тиетта. 2012, N 3 (21).

полиэдров - дуальные к фуллеренам. Мы писали о них ранее. Как видим, большое число одноименных гра­ ней допускает широкий спектр симметрий, в том числе асимметрию. В чём же тогда предпосылка асимметрии довлеющего многообразия выпуклых полиэдров? Мо­ жет быть, в большом числе неповторяющихся (уни­ кальных) граней? Давайте порассуждаем. Если в по­ лиэдре есть 1 уникальная грань, то она допускает его примитивные (1, 3, 4, 6 и некристаллографические ана­ логи), планальные (m, mm2, 3m, 4mm, 6mm и аналоги) и аксиальную (2) симметрии (рис.): 1 <331>, <412>; m <321>, <61>, <4201>, <313>; mm2 <4201>, <2401>; 3m <133>, <3031>; 4mm <41>; 5m <501>; 6mm <6001>; 2 <2221>. Если в полиэдре есть 2 уникальные грани, то он может обладать теми же симметриями (рис.): 1 <511>, <3211>; m <511>, <151>, <3211>. Реже встречаются [1]: mm2 <2141>, <260101>, <414001>, <224101>, <А101> А= 10, <6141>, <640101>,<280101>, <4161 >, <46010001>, <604101>, <61400001>, <2181>,<244101>,<28000101>, <406101>, <41600001>, <42410001>, <61040001>, <046101>, <216201>, <24400101>, <41240001>, <600141>; 3m <1631>, <3601001>, <3061001>; 4mm <410401>; 5m <55100001>, <50150001>; 2 <8121>, <6141>, <640101>, <280101>, <4161>, <442101>, <604101>, <61212>, <612201>, <082101>, <2181>, <244101>, <26210001>, <406101>, <41412>, <414201>, <42410001>, <610221>, <412221>. С ростом числа гра­ ней многообразие полиэдров растёт быстрее, чем экс­ понента. На этом фоне полиэдры с симметриями, от­ личными от 1 и m, просто «тонут» [2]: 3 <3331301>; mm2 <06600101>, <20A10001>, <216401>, <260141>, <26040101>, <2640000101>, <410801>, <414122>, <41600201>, <4242010001>, <60060101>, <60214001>, < 6 1 2 0 4 00001> , < 0 1С12> С=12 , <04A001 01 > , <082141>, <08240101>, <0841200001>, <0842010001>, <0860000101>, <0A014001>, <0A04010001>, <21814>, <218221>, <21A02001>, <22820101>, <22A0010001>, <244141>, <2480000101>, <26060101>, <26214001>, < 2 8 0 4 0 0 0 1 0 1>, < 2 8 4 0 0 0 0 0 0 1 0 1>, < 4 0 6 1 4 1 > , <40640101>, <41280001>, <414241>, <4146000001>, <41604001>, <4162012>, <42414001>, <4244010001>, < 4 2 8 0 0 0 0 1 0 0 0 1 > , <44042 10 1 > , <4 4 0 6 0 1 0 0 0 1 > , <44204101> , <4421400001> , <442401000001> , <444102000001>, <444200010001>, <46010401>, <6044000101>, <604401000001>, <61018>,<61060201>, < 6 1 2 4 0 2 0 0 0 1>, < 6 2 0 2 4 1 0 1>, < 6 2 2 0 4 1 0 0 0 1 > , <62210401>,<6401014>,<8002410001>, <8021040001>, <8102040001>; 3m <13613>, <1630301>, <1900031>; 4mm <4080010001>, <414041>; 7m <700710000001>; 2 (<216401>, <218102>, <226121>, <24412001>, <24420101>, <260141>, <2621200001>, <2622010001>, <3360001001>, <412421>, <414122>, <41422001>, <41600201>, <4160200001>, <41610002>, <42240101>, <42402101>, <4241012>, <4241200001>, <44022101>, <60222101>, <6120212>, <62012201>, <06620101>, <08 2141>, <0841200001>, <20A121>, <216601>, <21814>, <218221>, <21A02001>, <22812001>, <22820101>, <244141>, <24440101>, <24610201>, < 2 4 6 1 2 0 0 0 0 1 > , < 2 4 6 2 0 1 0 0 0 1 >, < 2 6 2 1 4 0 0 1 > , < 2 6 2 2 2 1 0 1 > , < 2 6 2 4 0 1 0 0 0 1 > , < 2 6 4 0 2 1 0 0 0 1 > , <26410102> , <2641020001> , <264120000001> , <2642000101> , <264201000001> , <28012201> , <282021000001>, <282102000001>, <282200010001>, <406141>, <40640101>, <40802101>, <4081012>, < 4 1 2 6 2 1 > , < 4 1 4 16>, < 4 1 4 2 4 1 > , <41 4 4 2 0 0 1 > , <4146000001>, <41604001>, <4161202>, <4162012>, <4162200001> , <416400000001> , <42260101> , < 4 2 4 1 4 0 0 1 > , < 4 2 4 2 2 1 0 1 > , < 4 2 4 4 0 1 0 0 0 1 > , < 4 2 6 0 2 1 0 0 0 1 > , < 4 2 6 1 0 0 2 1 > , < 4 2 6 1 0 1 0 2 > , <4261020001>, <426120000001>, <4262000101>, < 4 2 6 2 0 1 0 0 0 0 0 1 > , < 4 4 0 4 2 1 0 1>, < 4 4 2 0 4 1 0 1 > , < 4 4 2 1 2 1 2 > , < 4 4 2 1 2 2 0 1 > , < 4 4 2 1 4 0 0 0 0 1 > , <4422210001>, <4424000101>, <442401000001>, <4440200101>, <444021000001>, <444101002>, < 4 4 4 1 0 2 0 0 0 0 0 1 > , < 4 6 0 1 0 4 0 1 > , < 4 6 0 1 2 0 2 1 > , <46020121>, <4602200101>, <60242101>, <60404101>, < 6 0 4 1 2 12>, < 6 0 4 1 4 0 0 0 0 1>, < 6 0 4 2 2 1 0 0 0 1 > , <6044000101>, <610261>, <61044001>, <61060201>, <6121402>, <6122212>, <61222201>, <6122400001>, <61240021> , < 6 124020001>, <612420000001> , <61402021>, <61402102>,<6142002001>,<614201002>, <614202000001> , <62024101> , <6204210001> , < 6 2 2 0 4 1 0 0 0 1>, < 6 2 2 1 2 0 2 1 > , < 6 2 2 1 2 1 0 2 > , < 6 2 2 1 2 2 0 0 0 1 > , < 6 2 2 2 2 0 0 1 0 1>, < 6 4 0 0 2 1 2 1 > , < 6 4 0 1 0 2 2 1 > , < 6 4 0 1 0 4 0 0 0 1>, < 6 4 0 1 2 0 2 0 0 1 > , <80210221>. Казалось бы - немалый список, под не­ которыми символами <. .. > прячутся несколько полиэ­ дров. И всё же это малое число по сравнению с чис­ лом полиэдров симметрии m (среди простых 13- ... 16-эдров их 1952, 6300, 20679, 67035), а последних ничтожно мало на фоне асимметричных полиэдров (47030, 331796, 2382352, 17411448, соответственно) [2]. Для полиэдров с 2 уникальными гранями очевидно необходимое условие: ось симметрии, если существу­ ет, перпендикулярна обеим уникальным граням. Очевидно, 3 уникальные грани исключают оси симметрии. Такой полиэдр может обладать лишь вида­ ми симметрии 1 и m. Результат обобщается на выпу­ клые полиэдры с большим числом уникальных граней. Необходимое условие симметрии m - все уникальные грани должны лежать в поясе, перпендикулярном пло­ скости m. Что же мы выяснили? Ничего, выражаемого через символ <. .. > и гарантирующего симметрию или асимметрию выпуклого полиэдра. И всё же обнаружи­ лось несколько нетривиальных обстоятельств. 1. «Теорема об одноименных гранях» указывает на предпосылки симметрии выпуклых полиэдров: четвёрка, тройка и пара, три пары одноименных граней потенциально позволяют сконструировать полиэдры с весьма разнообразными симметриями. 17