Тиетта. 2012, N 3 (21).

жат видам симметрии 1, 2, m (по одному) и 3m (пара). Какая тут может быть связь? Но не будем торопиться. Симметрию объекта чаще всего определяют че­ рез наличие в нём равных частей, некоторым движени­ ем отображаемых друг в друга (и в себя), так что весь объект совмещается с собой. Тогда нельзя ли связать асимметрию с отсутствием равных частей? Хорошо бы взглянуть на полиэдр, состоящий из различных (разно­ именных) граней. Попробуем его сконструировать. Для этого положим в основание проекцииШлегеля (как на приведенных рисунках) грань с максимальным (n) чис­ лом рёбер. Будем присоединять к ней другие грани без повторов: к первому ребру - (п-1)-угольную, ко второ­ му - (п-2)-угольную и т.д. Последняя, 3-угольная грань будет пристыкована к (п-З)-му ребру базальной грани. К её трём незанятым рёбрам придётся присоединить грани уже использованных видов. Среди них - 3 или 2 одноименных, или все разные. С учётом того, что все виды граней уже использованы в построении, получа­ ем «теорему об одноименных гранях»: на любом вы­ пуклом полиэдре найдутся либо 4, либо 3 и 2, либо три парыодноименных граней. Усилить её нельзя, посколь­ ку указанные наборы граней в точности присутствуют на тетраэдре, 3-гранной призме (точнее, её комбинации с пинакоидом) и полиэдре f=6 v=8 <222> (рис.). Итак, свойства евклидова пространства тако­ вы, что гарантируют на выпуклых полиэдрах немалое число повторяющихся граней. Не в этом ли кроется предпосылка их симметрии? Действительно, вспом­ ним самые симметричные полиэдры: платоновы куб и октаэдр (m3m) образованы 6-ю 4-угольными и 8-ю 3-угольными гранями, додекаэдр и икосаэдр (35m) - 12-ю 5-угольными и 20-ю 3-угольными гранями. Здесь высокая симметрия сочетается с однотипностью гра­ ней. Но в телах Архимеда та же симметрия сочетает­ ся с разнообразием граней (хотя в дуальных им телах Каталани снова имеет место однообразие граней): ку- бооктаэдр (8 3-угольников, 6 квадратов) - ромбододе­ каэдр (12 ромбов), усечённый октаэдр (6 квадратов, 8 6-угольников) - тетракисгексаэдр (24 3-угольни­ ка), усечённый куб (8 3-угольников, 6 8-угольников) - триакисоктаэдр (24 3-угольника), ромбокубооктаэдр (8 3-угольников, 18 квадратов: 6 в кубическом, 12 в ромбическом положении) - дельтоидальный икосите- траэдр (24 дельтоида), ромбоусечённый кубооктаэдр (12 квадратов, 8 6-угольников, 6 8-угольников) - гек- закисоктаэдр (48 3-угольников); икосододекаэдр (20 3-угольников, 12 5-угольников) - ромботриаконтаэдр (30 ромбов), усечённый икосаэдр (12 5-угольников, 20 6-угольников) - пентакисдодекаэдр (60 3-уголь­ ников), усечённый додекаэдр (20 3-угольников, 12 10-угольников) - триакисикосаэдр (60 3-угольников), ромбоикосододекаэдр (20 3-угольников, 30 квадратов, 12 5-угольников) - дельтоидальный гексеконтаэдр (60 дельтоидов), ромбоусечённый икосододекаэдр (30 ква­ дратов, 20 6-угольников, 12 10-угольников) - гекзаки- сикосаэдр (120 3-угольников) (рис.). Внимательный читатель может заподозрить, что высокой симметрией обладают полиэдры, составлен­ ные из одних 3-угольников (их называют симплици- альными). Увы, и этого мало. Замечательный пример Усечённый икосаэдр и пентакисдодекаэдр. Truncated icosahedron and pentakis dodecahedron. Усечённый додекаэдр и триакисикосаэдр. Truncated dodecahedron and triakis ikosahedron. Ромбоусечённый икосододекаэдр и гекзакисикосаэдр. Rhombic truncated ikosdodecahedron and hexakis icosahedron. - серия полиэдров <10>, образованных 10-ю 3-уголь­ никами (рис.): 2 #1, mm2 #2, 3m #3-4, -10m2 #5. Ещё более интересный один пример - серия <12> (рис.): 1 #1-2, 2 #3, m #4-7, mm2 #8-10, -42m #11, -3m #12, -43m #13, 6/mmm #14. Ещё одно многообразие симплициальных и в основном комбинаторно асимметричных выпуклых 16