Тиетта. 2012, N 3 (21).

Читателям, скорее всего, известна теорема Эй­ лера о том, что на выпуклом полиэдре не могут одно­ временно отсутствовать 3-, 4- и 5-угольные грани. Она доказывается алгебраически. Попытка её геометриче­ ской интерпретации приводит к следующему. Более многоугольные (6-, 7- ...) грани, прилегая друг к другу, оставляют в каркасе полиэдра «малые» открытые углы, закрываемые «малыми» 3-, 4- и 5-угольными гранями. Аналогично, попытка построения выпуклого полиэдра путём окружения самой многоугольной грани другими гранями позволяет сформулировать с помощью симво­ ла <n3, n4 ... nk> ряд неочевидных утверждений. Так, предлагаю читателям доказать, что не существует вы­ пуклый полиэдр, для которого выполнялось бы усло­ вие: Е n < k + 1, где i = 3, . , k. Дальнейшая идея со­ стоит в том, чтобы соотнести гранные символы < ...> и симметрии выпуклых полиэдров. Рассмотрим начало их многообразия, систематически перечисленное в ка­ талогах [1, 2]. Простейший выпуклый полиэдр (сим­ плекс, тетраэдр) имеет 4 грани (facet) и 4 вершины (vertex); заполняет класс f=4, v=4; все его грани треу­ гольные, что выражается символом <4>; имеет комби­ наторную симметрию -43m (рис., здесь и далее полиэ­ дры даны в проекцииШлегеля на одну из граней): f=4, v=4: <4> -43m #1 5-эдры принадлежат комбинаторным типам тетраго­ нальной пирамиды и тригональной призмы (рис.): f=5, v=5: <41> 4mm #1 f=5, v=6: <23> -6m2 #1 6-эдры принадлежат семи комбинаторным типам (рис.; у трёх есть собственные имена: тригональная бипира­ мида, пентагональная пирамида и куб; рациональная номенклатура выпуклых полиэдров - интересная про­ блема, которой будет посвящена отдельная статья): f=6, v=5: <6> -6m2 #1 Обращает внимание то, что до сих пор символ < . > однозначно определял комбинаторный тип и сим­ метрию полиэдра, хотя их связь совершенно не ясна. Увы, с ростом числа граней однозначность реализа­ ции символа < ...> пропадает, что видно уже на при­ мере 7-эдров, простейший случай: <61> - 2 полиэдра с разной симметрией. Более того, в некоторых случаях символ < . > и симметрия не фиксируют полиэдр даже в совокупности, простейший случай: <43> 3m - 2 по­ лиэдра. С ростом числа граней это становится скорее нормой, чем исключением. f=7, v=7: <43> 1 #1, 2 #2, m #3, 3m #4-5; <511> 1 #6, m #7; <6001> 6mm #8 f=7, v=8: <25> 2 #1, mm2 #2; <331> 1 #3-4, m #5-7; <412> 1 #8, 2 #9; <4201> m #10, mm2 #11 f=7, v=9: <151> m #1; <232> 1 #2, mm2 #3; <2401> mm2 #4; <313> m #5-6; <3211> 1 #7, m #8 f=7, v=10: <052> -10m2 #1; <133> 3m #2; <2221> 2 #3; <2302> mm2 #4; <3031> 3m #5 Все выпуклые 4- ... 7-эдры показаны выше для того, чтобы предоставить читателю поле деятельности для поиска связей между символом < . > и симметрией полиэдра. Кто-то, возможно, получит удовольствие от систематичности вывода. Ведь других выпуклых 4- ... 7-эдров просто нет! Напомним, что все они (а также простые - в каждой вершине сходятся по три грани - 8- и 9-эдры) найдены Е.С. Фёдоровым с помощью ориги­ нального алгоритма генерирования полного комбина­ торного многообразия выпуклых полиэдров [4]. Но что мы получили? При одном символе < . > выпуклые по­ лиэдры могут иметь ту же или различную симметрию, простейший случай: <43> - пять полиэдров принадле­ 15