Тиетта. 2012, N 2 (20).

ЧАСТИЧНО АНТИСИММЕТРИЧНЫЕ ПОЛИЭДРЫ: К 125-ЛЕТИЮ АКАД. А.В. ШУБНИКОВА PARTLY ANTISYMMETRIC POLYHEDRA: ТО 125 th ANNIVERSARY OF ACAD. A.V. SHUBNIKOV The article is dedicated to the 125th anniversary of A.V. Shubnikov's (1887-1970) birth, who was the first to discover 58 point and 1651 space groups o f antisymmetry and thus summarized Acad. E.S. Fedorov's study. The author o f the article Prof. Yu.L. Voytekhovsky introduces the notion o f partly asymmetric polyhedra in the framework of the combinatorial l crystallomorphology, which he develops. В 2012 г. исполнилось 125 лет со дня рожде­ ния акад. А.В. Шубникова (1887-1970), впервые на­ шедшего 58 точечных и 1651 пространственных групп антисимметрии [6-8] и тем самым обоб­ щившего учение акад. Е.С. Фёдорова. Кроме того, он открыл пьезоэлектрические текстуры, выска­ зал идею визуализации атомов, позднее реали­ зованную в электронной микроскопии, основал первый в мире Институт кристаллографии, ко­ торый возглавлял почти 20 лет. Мимо этой даты пройти невозможно. В рамках развиваемой автором «комбина­ торной кристалломорфологии» получен резуль­ тат, добавляющий в теорию антисимметрии лю­ бопытную деталь. В [9] определена «реальная» кристаллографическая простая форма как лю­ бой полиэдр, ограниченный гранями «идеаль­ ной» кристаллографической простой формы, находящимися в стандартной ориентации, но на произвольном расстоянии от начала координат. Реальные формы получаются из идеальных не­ зависимым движением граней вдоль нормалей. Комбинации реальных кристаллографических простых форм определяются очевидным обра­ зом. Если фиксировать реальные формы с точ­ ностью до комбинаторного типа, т.е. числа, вида и способа сочетания граней, то их перечисление для данной идеальной формы или комбинации форм становится разрешимой задачей. Резуль­ таты перечисления некоторых реальных простых форм и их комбинаций с помощью оригиналь­ ных алгоритмов и компьютерных программ из­ ложены в [2-5]. Перенос грани полиэдра, не имеющего эле­ ментов симметрии 2-го рода, вдоль нормали че­ рез начало координат на то же расстояние иногда порождает форму, которую по отношению к ис­ ходной предлагается определить как «частично антисимметричную». Действительно, при парал­ лельном переносе всех граней абстрактного (гео­ метрического, пустого) полиэдра, не имеющего элементов симметрии 2-го рода, через начало ко­ ординат на то же расстояние получается форма, энантиоморфная исходной. Та же процедура для кристаллического (физического, телесного) по­ лиэдра порождает антисимметричную форму, так как нормали, ранее ориентированные вовне, теперь ориентированы внутрь полиэдра. Из это­ го и следует, что перенос через начало координат лишь части граней полиэдра порождает частич­ но антисимметричные формы. Метафорически ситуация выглядит так, как если бы в известном примере акад. А.В. Шубникова наизнанку выво­ рачивалась не вся чёрно-белая перчатка, а лишь отдельные её пальцы [8]. На рисунке показаны реальные тригональ- ные бипирамиды. Упорядочение по порядкам групп автоморфизмов и точечным группам сим­ метрии: 1 - 18 (1), 2 - 15 (2 - 8, m - 7), 4 - 2 (mm2, 222), 12 - 1 (-6m2). По гранным символам: [06] - 2, [222] - 9, [23] - 5, [24] - 4, [321] - 6, [4] - 3, [41] - 3, [42] - 2, [6] - 2. По числу граней: 4-эдры: [4] 2 - № 1, m - 2, 222 - 3, 5-эдры: [23] 1 - 4-8, [41] 1 - 9-10, m - 11, 6-эдры: [06] 2 - 12, m - 13, [222] 1 - 14-17, 2 - 18-21, m - 22, [24] 1 - 23-24, 2 - 25, m - 26, [321] 1 - 27-30, m - 31-32, [42] 1 - 33, 2 - 34, [6] mm2 - 35, -6m2 - 36. Из 36 форм лишь 6 (№№ 1, 8, 11, 21, 32, 36) нормальны, т.е. обладают всеми внешними норма­ лями, остальные 30 частично антисимметричны. Аналогично изучены реальные тригональные трапецоэдры. Упорядочение по порядкам групп автоморфизмов и точечным группам симметрии: 1 - 44 (1), 2 - 18 (2 - 17, m - 1), 6 - 1 (32). По гран- 44