Тиетта. 2011, N 3 (17).

Как бы то ни было, но на задачу лорда Кельви­ на в книге Д’Арси В. Томпсона обратил внимание вы­ дающийся американский математик Г.-С.-М. Коксетер и ... решил её [5, 7], исходя из физических условий стабильности пены, сформулированных ещё лордом Кельвином. Ответ оказался удивительным - среднее число граней у ячейки равно 13.56, числа рёбер и вер­ шин тоже дробные! Эта мистическая форма получила название ячейки Коксетера. Результат означал лишь одно - нет уникального полиэдра, заполняющего со­ бой пространство пены «грань к грани», но есть неко­ торое распределение полиэдров по числу граней и, как показали дальнейшие события, разнообразие комбина­ торных типов полиэдров даже при одном числе граней. Один из полиэдров, приближённо характеризующий ячейку Коксетера, показан на рис. 5. Рис. 5. Тетракайдекаэр - одно из полиэдрических приближений к ячейке Коксетера. Fig. 5. Tetracaydecahedron - one of polyhedral approximations of Coxeter cell. Кажется, технические и естественные науки только и ждали решения задачи Кельвина. Оно тут же было приспособлено для описания структур пере­ кристаллизации в металлах и сплавах (что важно для прогноза их физических свойств, в первую очередь - прочности) [6, 8, 10, 11], а также в минеральных агре­ гатах, горных породах и рудах (что служит для рекон­ струкции их условий и механизмов образования) [1-4]. Справедливости ради заметим, что зерно металла или минерала - не мыльный пузырь. Кристаллическая ре­ шётка ограничивает разнообразие внешних форм. Ра­ стущие кристаллиты теснят друг друга и приобретают компромиссную форму, для которой достигается отно­ сительный минимум свободной энергии межзерновых границ при некоторых ограничениях, налагаемых кри­ сталлическими решётками. И всё же, даже при указан­ ных несоответствиях идея ячейки Коксетера остаётся в металлографии, минералогии и петрографии весь­ ма привлекательной, идеалом, к которому стремятся в ходе перекристаллизации все мономинеральные спла­ вы и горные породы. А что если рассмотреть реальный минеральный агрегат по Кельвину (по общей поверхности граничат два пузыря, по ребру - три, в общем узле - четыре), но без физических условий равновесия - подобно тому, как мы сделали это в начале статьи для полигональ­ ной поверхности снежника? Пусть N0 - число узлов, N - рёбер, N2 - граней, N3 - ячеек. Найдём среднюю координацию ячейки 2N2 / N3. Параметры связаны со­ отношением Эйлера-Пуанкаре N0 - N + N2 -N3 = 0. Почти очевидно, что N = 2 N0. Ещё одну связь можно получить, определив параметр k как среднее число рё­ бер у грани ячейки: 3 N = k N2. Решая совместно три последних уравнения, находим: 2N2 / N3 = 12 / (6 - k). Итак, средняя координация зерна в реальном агрегате не является инвариантом. График её зависимости от k дан на рис. 6. По сути, это шкала структур перекри­ сталлизации, на которой структура Коксетера отвечает значению k = 5.12. На пути к этой «идеальной» структуре средняя координация зерна в металле, мономинеральной гор­ ной породе и льде проходит ряд «кристаллографиче­ ских» значений 4, 6, 8, 12, которые локально могут реализоваться в виде квазикристаллографических упаковок кристаллитов. По-видимому, это должно от­ ражаться на их прочностных свойствах. Как бы то ни было, предложенная шкала структур перекристалли­ зации с интересом обсуждалась применительно к ди­ намическому равновесию льда на IV Международной конференции «Лавины и смежные вопросы», прошед­ шей в г. Кировске 5-9 сентября 2011 г. в честь 75-летия Центра лавинной безопасности ОАО «Апатит». А ведь всё начиналось с пивной п ены . Рис. 6. Шкала структур перекристаллизации. Fig. 6. Scale of recrystallization structures. Список литературы 1. Бродская Р.Л. К вопросу о метризации структур гор­ ных пород // Зап. ВМО. 1972. № 5. С. 297-300. 2. Бродская Р.Л. Термодинамические (кинетические) критерии формирования и эволюции структуры минеральных агрегатов // Зап. ВМО. 1988. № 5. С. 623-633. 3. Жабин А.Г., Гладких В.С. Равновесные структуры ми­ неральных агрегатов в глубинных лерцолитовых но- дулях // Докл. АН. 1990. Т. 313. № 5. С. 1200-1203. 4. Жабин А.Г., Харченков А.Г. Равновесная структура 8