Тиетта. 2011, N 1 (15).

4 температуры и / или давления. Таким образом, аналогия однородного уравнения Эйлера и неод­ нородного соотношения Гиббса настораживает. 2. Второе обстоятельство, обращающее на себя внимание - что с чем сопоставляется в урав­ нениях Эйлера и Гиббса? Ясно, что Р соответству­ ет n, ведь только они входят в уравнения со знаком минус. Но чему соответствует В: f или k? (Соответ­ ственно, чему соответствует Г: k или f?) На самом деле, это простой вопрос. Формально можно при­ нять любой из двух вариантов, поскольку дуаль­ ным переходом (от куба к октаэдру и наоборот, от додекаэдра к икосаэдру и наоборот...) всегда можно перейти к полиэдру, у которого числа вер­ шин В и граней Г меняются местами. 3. В правой части обоих уравнений стоит привычная, ускользающая от анализа двойка. Между тем, в солидных учебниках физической хи­ мии отмечается, что она подразумевает основные внешние факторы, управляющие равновесием в системе - температуру и давление. При наличии дополнительного переменного фактора равнове­ сия, например, электрического потенциала, пра­ вило фаз принимает вид f - n + k = 3. Наоборот, при P = const или T = const имеем f - n +k = 1, а при P = const и T = const получаем f - n + k = 0. Соотно­ шение Эйлера отзывается на эту вариабельность удивительной аналогией. А именно, его правая часть закономерно меняется для графов, нарисо­ ванных на поверхностях разного рода: сфере (2); торе, поверхности Мёбиуса, бутылке Клейна (0); «кренделе» с двумя дырками (-2); «прянике» с тремя дырками (-4). Эти константы столь важны, что получили название эйлеровых характери­ стик поверхностей. Иначе говоря, анализ систем с P = const и T = const параллелизуется с рассмотре­ нием комбинаторики графов на торе. Любопыт­ ная аналогия! 4. Говоря о соотношениях Эйлера и Пуан­ каре, Ю.В. постоянно говорит о симплексах, а не о полиэдрах и политопах общего вида. Напри­ мер: «Число элементов геологических множеств разных уровней организации, участвующих в об­ разовании симплекса, определяется биномиаль­ ными коэффициентами формулы Ньютона или количеством сочетаний из n элементов по т » (с. 32). И далее: «Соотношение между числом элементов различных уровней организации, об­ разующих ^-^-мерный симплекс Sn, опреде­ ляется формулой Пуанкаре» [Ibid., см. выше]. Здесь заключена какая-то загадка. На самом деле формулу Пуанкаре можно рассматривать как комбинаторное тождество, связывающее числа i-членных подмножеств n-членного множества (i = 0, 1 ... n). Как таковое оно получается из формулы бинома Ньютона (a+b)n = Е Cnman-mbm (m =0, 1 ... n). При подстановке a =1, b =-1 получаем Cn0 - Cn1+ Cn2 - ... + (-1)nCnn = 0. Легко проверить, что это соотношение выполняется даже для за­ ведомо непланарного (т.е. не изображаемого на плоскости без самопересечений) графа, уже поэтому не расправляемого в полиэдр (рис. 4): 1 - 5 + 10 - 10 + 5 - 1 = 0. Здесь последовательно: 1 - число пустых подмножеств 5-элементного мно­ жества (по определению, Cn0 = 1 для любого n), 5 - число 1-элементных подмножеств (вершин графа), 10 - число 2-элементных подмножеств (рёбер графа), 10 - число 3-элементных подмно- Рис. 4. Заведомо не планарный и потому не полиэдри­ ческий граф. Fig. 4. A priori non-planar and therefore non-polyhedral graph. жеств (треугольников, образованных рёбрами графа), 5 - число 4-элементных подмножеств (четырёхугольников, образованных рёбрами гра­ фа), 1 - само 5-элементное множество (вершин графа). Очевидно, в силу общности соотношение выполняется и для чисел i-членных подмножеств n-членного точечного множества (i = 0, 1 ... n), вы­ пуклая оболочка которого есть полиэдр. Но в ука­ занном комбинаторном контексте соотношение Пуанкаре имеет лишь теоретико-множественную подоплёку, по-видимому, далёкую от того смыс­ ла, который вкладывал в него Ю.В. 5. Замечательным образом соотношение Пуанкаре выполняется, если учитывать в нём не все i-членные подмножества n-членного точеч­ ного множества (i = 0, 1 . n), выпуклая оболочка которого образует политоп, а лишь те, которые образуют его i-мерные грани. В частности, для по­ лиэдров оно сводится к формуле Эйлера. Легко проверить его для любого полиэдра: куба, октаэ­ дра, додекаэдра, икосаэдра. Но Ю.В. не исполь