Тиетта. 2010, N 3 (13).

23 с и м м е т ри я к а к е д и н о е с в о й с т в о п ро с т ра н с т ва и ж и в о г о о р ган и зм а 1 s ym m e t r y a s a u n it e p r o p e r t y o f s pa c e AND a l iv in g o r g a n ism The article briefly justifies the table o f automorphisms (symmetries) of the Euclidean space in the informational and linguistic interpretation o f the computational geometry. On example of outstanding pieces o f art, creative activity o f those suffering from mental illnesses, non-verbal psychological texts and the physiology data unite principles of the surrounding space formation and human notions on the beauty and harmony are proved. Симметрические свойства объекта проекти­ рования употребляются в человеческих построй­ ках и предметах быта со времён Древнего Егип­ та и Шумера. Гениальный математик и философ XVII в. Лейбниц предположил, что кроме систем координат и алгебраических методов, открытых Декартом, существуют особые отображения (свя­ зи) в евклидовой плоскости (пространстве), опре­ деляющие её законы. Читателям, не получившим естественнонаучного образования, материал сле­ дующего пункта может показаться сложным. По­ этому особенно для них, да и для всех, рекомен­ дую ознакомиться с литературными источниками [1, 2]. Начнём с математики. Поскольку решением прикладных задач и компьютерным моделирова­ нием в различных предметных областях занима­ ется вычислительная геометрия, в данной статье будем рассматривать именно её. 1. Информационно-лингвистическая интер­ претация вычислительной геометрии В прошлом веке выдающийся немецкий ма­ тематик Генрих Вейль предложил свою таблицу автоморфизмов пространства [1, стр. 104]: C , Cn, C2nCn (n = 1,2,3,...) D'n , D'n , DnCn , D2nD'n (n = 2 ,3 ,4 ,.) T,W , P; T,W , P; WT. где Cn - циклическая группа с поворотом на угол 360/n, D'n - диэдральная группа (зеркальное отражение) с поворотом на тот же угол, T , W и P - группы, оставляющие инвариантными соот­ ветственно правильный тетраэдр, куб (или окта­ эдр), додекаэдр (или икосаэдр). Так как работа ориентируется на евклидову плоскость, послед­ няя строка таблицы для неё избыточна. Кроме этой таблицы симметрий, описано понятие сим­ метрии переноса [1, стр. 73-74]. Она определена как последовательность повторений на числовой оси, в т.ч. с зеркальной (знаковой) симметрией: ai+1 = аi + е , где i е N , а0 - фиксировано, е - шаг (ритм) симметрии. Основным недостатком данной таблицы является несвязанность групп симметрий между собой и избыточность, совмещённая с не­ полнотой. В 1950-60 гг. среди геометров окончатель­ но закрепилась мнение, что пространство нельзя рассматривать без теоретико-множественных от­ ношений над ним. К тому времени уже существо­ вали работы Кантора по теории множеств [3], в т.ч. действительного. Мало того, с конца XIX в. в геометрии существует особая ветвь конвексной, или дискретной геометрии [4], некоторые теоре­ тические построения которой связаны с теорией множеств. Огромный интерес в середине прошлого века вызвали работы французской группы математи­ ков, объединившихся под псевдонимом Бурба- ки. Наиболее замечательным из них был Дьедон- не. Он предпринял попытку обосновать свойства плоскости, а затем и пространства, сохраняя теоретико-множественную операцию декартова произведения < x,у > [5]. Автор рассматривает два автоморфизма плоскости: зеркальную симметрию (кососимметрию) и симметрию (переставную сим­ метрию). Для обоснования свойств симметрий так­ же использовано преобразование существования (преобразование с единичной матрицей). Обоснование теории множеств начал Кантор. Затем эти исследования продолжили Цермело, А.Френкель и другие. Последний руководствовал­ ся принципом Лейбница и сформулировал авто­ морфизм принадлежности множеству [6]. Неко­ торый элемент принадлежит множеству или нет. Из данного определения А. Френкель выводит ак­ сиоматику образования множества. Данный вид аксиоматики принято называть ZFC аксиомами. Кроме того, среди аксиом существуют тезисы о су­ ществовании пустого и непустого множеств. Вме­ сте они составляют автоморфизм существования. Автор статьи с начала 1980-х гг. занимался точностью геометрического моделирования. Воз­ ник парадокс: точность геометрической модели ниже точности оборудования, на котором произ- 1Теория симметрии в меньшем или большем объёме входит в образование всякого геолога, но затем выходит за поле зрения большинства. Между тем, симметрия пронизывает все сферынауки, искусства и повседневной жизни. По-видимому, мы под­ час не замечаем её на бегу именно потому, что она нам врождена, потому что мы - органическая (в смысле - неотъемлемая) часть этого мира. Об этом - статья нашего нового автораА.Г. Ложкина. - Гл. ред.