Тиетта. 2010, N 3 (13).

15 По-видимому, общим принципом эволю­ ции биологических систем является оптимизация материальных и энергетических затрат для дости­ жения своих - всякий раз поражающих вообра­ жение внешними проявлениями - целей. Не сле­ дует лишь забывать, что пространство вложения (будем считать его трёхмерным евклидовым) на­ кладывает на рождающиеся формы, как родимые пятна, свои ограничения. Во всех приведённых примерах природа реализовала в биологических структурах одну и ту же форму фуллерена или (квази-) фуллерена, оказавшуюся оптимальной. Обращение к комбинаторной геометрии обнару­ живает целый ряд её инвариантов, обусловлен­ ных соотношениями, в конечном счёте обуслов­ ленными фундаментальными топологическими свойствами двухмерной сферы. Эти инварианты следует отличать от вариабельных черт биоло­ гических структур, действительно зависящих от условий и механизмов морфогенеза. Но где же Рис. 8. Поверхность Tetraodontidae. Fig. 8. The Tetraodontidae surface. здесь гомологические ряды? Например, в много­ образии фуллеренов икосаэдрического типа (и автоматически в многообразии капсидов икосаэ- дрических вирусов) они порождаются тремя сле­ дующими теоремами. теорема о существовании икосаэдриче- ских фуллеренов Gv при v = 20(h2+hk+k2), где 0<h>k>0 - целые числа. Доказана в [Caspar D.L.D., Klug A. Cold Spring Harbor Symp. Quant. Biol. 1962. V 27. P 1]. Её важность состоит в том, что она ука­ зывает необходимое и достаточное условие для числа вершин икосаэдрических (самых симме­ тричных и потому потенциально наиболее ста­ бильных) фуллеренов. Достаточность реализуется через конструктивную схему построения фуллере- на с заданным v. Можно показать, что фуллерены (h, 0) и (h, h) имеют симметрию -3-5m, фуллерены (h, k) при h Фk - симметрию 235. По сути, теорема указывает строгие принципы классификации для обширного класса икосаэдрических вирусов и ске­ летов радиолярий. Теорема о фуллеренах-генераторах. Дока­ зана в [Войтеховский Ю.Л., Ярыгин О.Н. Теоретико­ числовой подход к исследованию икосаэдрических фуллеренов //Структура, вещество, история литос­ феры Тимано-Североуральского сегмента. Сыктыв­ кар: Геопринт, 2002. С. 30-32]. Показано, что во мно­ жестве икосаэдрических фуллеренов существуют бесконечные серии двух типов. (*) Порождается переходом к дуальному полиэдру и усечением его по всем вершинам: (h, k) ^ (h+2k, h-k). Число вер­ шин фуллерена увеличивается при этом в 3 раза. (**) Порождается «преобразованием подобия» (h, k) ^ (th, tk), где t - любой натуральный множи­ тель. Число вершин фуллерена увеличивается при этом в t2раз. Двукратное применение процедуры (*) равносильно процедуре (**) с t=3. Генераторами названы фуллерены, не получаемые процедурами (*) и (**) из более простых. Показано, что генера­ торами являются те и только те фуллерены (h, k), для которых h Фk (mod 3). Описание многообра­ зия икосаэдрических форм на уровне генерато­ ров проще, чем на уровне индивидуальных форм. Эта теорема углубляет предыдущую и упрощает описание многообразий икосаэдрических виру­ сов и радиолярий именно тем, что обнаруживает в них бесконечные (в математическом смысле) го­ мологические ряды, начинающиеся с фуллеренов- генераторов. Ограничения рядов по числу атомов (в структурах фуллеренов) и белковых глобул (в капсидах вирусов) обусловлено физическими и биологическими причинами, по-видимому, сегод­ ня плохо изученными. Углубить понимание структур гомологиче­ ских серий позволяет теорема об икосаэдри­ ческих фуллеренах-изомерах. Анализ икосаэ- дрических фуллеренов обнаруживает изомеры, простейшие из них: (7, 0) и (5, 3) с 980 вершинами, (9, 1) и (6, 5) с 1820 вершинами. Компьютерными перечислениями найдены простейшие серии до 10 изомеров. В атомном представлении они столь огромны, что имеют лишь теоретический инте­ рес. То есть в ближайшей области спектра пара чисел (h, k) фиксирует даже комбинаторный тип фуллерена. Но теоретически интересен вопрос о простейших тройках, четвёрках ... n-ках ико- саэдрических фуллеренов-изомеров. Теоретико­ числовая задача состоит в отыскании последова­ тельности натуральных N, допускающих заданное число n различных представлений в виде неполно­ го квадрата h2+hk+k2. В общем виде она не решена. Но легко показать, что в серии икосаэдрических изомеров лишь один фуллерен может иметь сим­ метрию -3-5m. Так, икосаэдрические (-3-5m) фул- лерены представлены лишь сериями вида (h, 0) и (h, h) с числами вершин h2 и 3h2 соответственно. Очевидно, серии не пересекаются. Но в каждой пара (h, k) определяет комбинаторный тип фул- лерена однозначно, чем и заканчивается доказа­ тельство. Представляется, что именно такие ряды имел в виду С.В. Мейен в приведённом выше рас­ суждении. Ю.Л. Войтеховский, д.г.-м.н., проф.