Тиетта. 2010, N 1 (11).

3 Теорема об икосаэдрических фуллеренах- изомерах. Анализ спектра икосаэдрических фул- леренов обнаруживает изомеры, простейшие из них - (7, 0) и (5, 3) с 980 вершинами, а также (9, 1) и (6, 5) с 1820 вершинами. Они столь огром­ ны, что имеют лишь теоретический интерес. То есть в ближайшей области спектра пара чисел (h, k) фиксирует даже комбинаторный тип фул- лерена. Но теоретически интересен вопрос о про­ стейших тройках, четвёрках ... n-ках икосаэдри­ ческих фуллеренов-изомеров. Компьютерными перечислениями найдены простейшие серии, включающие до 10 изомеров. Алгебраически задача состоит в отыскании минимальных на­ туральных N, допускающих n различных пред­ ставлений в виде неполного квадрата h2+ hk + k2. В общем виде она не решена. Но легко показать, что в серии икосаэдрических изомеров лишь один фуллерен может иметь симметрию -3-5m. Действительно, икосаэдрические (-3-5m) фулле- рены представлены лишь сериями вида (h, 0) и (h, h) с числами вершин h2 и 3h2, соответственно. Очевидно, они не пересекаются. Но в пределах каждой серии пара чисел (h, k) определяет ком­ бинаторный тип фуллерена однозначно, чем и за­ канчивается доказательство теоремы. Теорема о замкнутом контуре. Доказана в [10] в виде леммы, предваряющей доказательство теоремы о существовании фуллерена Cv без кон­ тактирующих пентагонов (п. 3). Теорема показы­ вает, что число пентагонов внутри любого замкну­ того контура на поверхности фуллерена строго определено самим контуром: f 5 = 6 + ein - eout, где ein и eut - числа рёбер, примыкающих к контуру изнутри и снаружи соответственно. Она даёт те­ оретическую возможность поиска пентагонов на как угодно большой поверхности фуллерена. Теорема о «среднем радиусе» фуллере­ на Cv. Доказана в [8]. Под «средним радиусом» фуллерена понимается радиус эквиплощадной сферы. Ясно, что он ограничен радиусами сфер, вписанных в фуллерен и описанных около него. Показано, что «средний радиус» фуллерена про­ порционален длине ребра гексагона, а коэффи­ циент пропорциональности <p(v) табулирован для v = 60 г 100. Размер фуллерена чрезвычайно важен ввиду его способности включать атомы и их кластеры с образованием эндоэдральных структур. Нет сомне­ ния, что комби­ наторная геоме­ трия фуллере­ нов как раздел математики по­ дарит нам ещё мн о г о и н т е ­ р е с н ы х т е о ­ рем, р а з ъ я с ­ н я ю щ и х их почти мистиче­ скую оптималь­ ность в минеральных и биологических сгрукту- рах. А инженерная мысль найдёт им множество практических применений (рис.: почтовая марка США с портретом архитектора Р.-Б. Фуллера и изображениями его ажурных конструкций). Список литературы 1. Войтеховский Ю.Л. Развитие алгоритма Е.С. Фё­ дорова о комбинаторных типах многогранников и при­ ложение к структурам фуллеренов // Зап. ВМО. 2001. № 4. С. 24-31. 2. Войтеховский Ю.Л. Фуллерены как при­ мер биоминеральной гомологии // Докл. АН. 2003. Т. 393. № 5. С. 664-668. 3. Войтеховский Ю.Л., Ярыгин О.Н. Теоретико­ числовой подход к исследованию икосаэдрических фуллеренов // Структура, вещество, история литосфе­ ры Тимано-Североуральского сегмента. Матер. XI на- учн. конф. Ин-та геологии Коми НЦ УрО РАН. Сыктыв­ кар, 3-4 дек. 2002 г. Сыктывкар: Геопринт, 2002. С. 30-32. 4. Caspar D.L.D., Klug A. Cold Spring Harbor Symp. Quant. Biol. 1962. V. 27. P 1. 5. Grunbaum B., Motzkin T.S. The number of hexagons and the simplicity of geodesics on certain polyhedra // Can. J. Math. 1963. V. 15. P. 744-751. 6. Klein D.J., Liu X. Theorems for carbon cages // J. Math. Chem. 1992. N 11. P. 199-205. 7. Schmalz T.G., Seitz W.A., Klein D.J., Hite G.E. Elemental carbon cages // J. Am. Chem. Soc. 1988. V. 110. P. 1113-1127. 8. Voytekhovsky Y.L. A formula to estimate the size of a fullerene // Acta Cryst. 2003. A 59. P. 193-194. 9. Voytekhovsky Y.L., Stepenshchikov D.G. On the spectrum of fullerenes // Acta Cryst. 2002. A 58. P. 295-298. 10. Voytekhovsky Y.L., Stepenshchikov D.G. A theorem on the fullerenes with no adjacent pentagons // Acta Cryst. 2004. A 60. P. 278-280. 11. Voytekhovsky Y.L., Stepenshchikov D.G. On the Motzkin-Grunbaum theorem // Acta Cryst. 2005. A 61. P. 584-585. Ю.Л. Войтеховский, проф., д.г.-м.н.