Тиетта. 2010, N 1 (11).

2 булены». Но технологически они создаются сво­ рачиванием графитовой сетки и замыканием по­ лученной трубки. Теорема о существовании простейших фуллеренов Cv без триад пентагонов, контак­ тирующих в общей вершине, для v = 50. Доказа­ на в [7] конструктивным способом с построением двух таких фуллеренов С50(-10m2, 32). Компьютер­ ные перечисления показали, что число подобных конструктивную схему построения фуллерена с заданным v. Можно показать, что фуллерены (h, 0) и (h, h) имеют симметрию -3-5m, фуллерены (h, k) при h ф k - симметрию 235. Биологическая подоплёка теоремы - в существовании обширно­ го класса икосаэдрических вирусов, радиолярий и простейших водорослей, для которых теоре­ ма указывает строгие принципы классификации структур (рис.: строение капсидов икосаэдриче­ ских вирусов из белковых глобул) [2]. ф Ш - ~ о о j ■ Й М Л У ' - 1 | форм быстро растёт с v, для диапазона С50 - С70 все они найдены и охарактеризованы точечными группами симметрии в [9]. Но отсутствует дока­ зательство теоремы, что такие фуллерены воз­ можны для любого чётного v > 50. Её физической подоплёкой служит то, что в организации таких фуллеренов (по сравнению с фуллеренами с три­ адами контактирующих пентагонов) совершается важный скачок на пути к их потенциальной ста­ бильности. Есть факты, свидетельствующие о ста­ бильности таких фуллеренов, особенно при нали­ чии допирующих атомов. Теорема о существовании фуллерена С, без контактирующих пентагонов для v = 60 и любого чётного v > 70. Доказана в [6, 10] кон­ структивным способом, по аналогии с доказа­ тельством теоремы о существовании фуллерена (п. 1). Но в [6] использованы 4 «полусферических» фрагмента, тогда как в [10] - все 18, заполняющих тот же контур и порождающих гораздо большее разнообразие бесконечных серий фуллеренов без контактирующих пентагонов. Физическая подо­ плёка теоремы в том, что наиболее стабильны именно фуллерены без контактирующих пента­ гонов. Таким образом, теорема указывает важ­ ные ограничения на число вершин (атомов) таких фуллеренов. Теорема о существовании икосаэдриче­ ских фуллеренов Cvпри v = 20 (h2+ hk + k2), где 0 < h > k > 0 - целые числа. Доказана в [4] (см. также [7]). Важна тем, что позволяет указать необ­ ходимое и достаточное условие для числа вершин (атомов) икосаэдрических (самых симметричных и потому потенциально наиболее стабильных) фуллеренов. Достаточность реализуется через Теорема о фуллеренах-генераторах. До­ казана в статье [3]. Показано, что во множестве икосаэдрических фуллеренов существуют беско­ нечные серии двух типов. (i) порождается «преоб­ разованием подобия» (h, k) ^ (th, tk), где t - лю­ бой натуральный множитель. При этом число вершин фуллерена увеличивается в t2раз. (ii) По­ рождается переходом к дуальному полиэдру и усечением его по всем вершинам: (h, k) ^ (h + 2k, h - k). При этом число вершин фуллерена увели­ чивается в 3 раза. Двукратное применение про­ цедуры (ii) равносильно процедуре (i) с t = 3. Ге­ нераторами названы фуллерены, не получаемые процедурами (i) и (ii) из более простых. Показано, что генераторами являются те и только те фулле- рены (h, k), для которых h и k взаимно просты и не сравнимы по модулю 3. Описание многообра­ зия икосаэдрических форм на уровне генераторов проще, чем на уровне индивидуальных форм. Эта теорема продолжает предшествующую и также имеет прямое отношение к описанию многообра­ зий икосаэдрических вирусов, радиолярий (рис.: полиэдрические скелеты Circogonia icosahedra и Circogonia dodecahedra; мириады неизученных форм).