Тиетта. 2010, N 1 (11).

1 Fullerens are probably the most intriguing objects of the world of nanostructures. However, the science hasn't seen the compilation of all scattered data on combinatorial geometry o ffullerenes so far. Hereinafter we treat fullerenes as no «Nobel» polyhedral molecules С60 and С70 (Fig.) alone, but any 3D convex prime polyhedron (the one with 3 edges meeting in each top) with 5- and 6-gonal facets. «The underwater part of iceberg» of proving theorems on fullerenes are the Euler equation f + v = e + 2 for all convex polyhedra and its follow-up equation £ (6 - k) fk = 12 for prime convex polyhedra (strict inequality > is truefor not prime polyhedra), wherefk - number of k-gonalfacets. Applied tofullerenes, it results into the equationf5 = 12, with no limitsforf6 [1]. Most theorems onfullerenes are proved via drawing the Schlegel fullerene projection on one of the facets. Applied here can be another basic theorem: projection may be «straighten» into 3D polyhedron with its maximum (combinatorial) symmetry realized. Minding these stipulations, Prof. Yury L. Voytekhovsky provides for a basic set o f theorems on fullerenes, thusfilling the above mentioned gap of compiled data. ЭТОТ уДИВИТЕЛЬНЫЙ МИр ФУЛЛЕР1ЕН0В Фуллерены - по­ жалуй, самые интри­ гующие объекты мира наноразмерных струк­ тур. Между тем, до сих пор нет последователь­ ного изложения раз­ розненных сведений о комбинаторной геоме­ трии фуллеренов. Под фуллеренами далее понимаются не только «но­ белевские» полиэдрические молекулы С60 и С70 (рис.), но всякий 3-мерный выпуклый простой (в каждой вершине сходятся по 3 ребра) полиэдр, на котором разрешены только 5- и 6-угольные грани. «Подводную часть айсберга» при доказательстве теорем о фуллеренах явно или неявно составляют соотношение Эйлера f + v = e + 2 для любых - про­ стых и непростых - выпуклых полиэдров и вытека­ ющее из него равенство Е (6 - k)f k= 12 для выпуклых простых полиэдров (для непростых полиэдров имеет место строгое неравенство >), где f k - число k-угольных граней. Для фуллеренов оно сводит­ ся к простому, но очень важному соотношению f 5 = 12, без ограничений на f 6 [1]. Большинство теорем о фуллеренах доказывается конструктивно - указанием процедуры, приводящей к построе­ нию проекции Шлегеля фуллерена на одну из граней. Здесь подразумевается другая фундамен­ тальная теорема: проекция может быть «расправ­ лена» в 3-мерный полиэдр, причём с реализаци­ ей его максимальной (комбинаторной) сим­ метрии. Имея в виду эти оговорки, приве­ дём корпус теорем о фуллеренах, воспол­ няющий указанный выше пробел. Теорема о существовании фуллерена С для v = 20 и любого чётного v > 24. Доказана в [5] и - независимо - в [11]. C20 - это додекаэдр, про­ стейший из фуллеренов. Невозможность фулле­ рена С22 доказывается в [11] невозможностью по­ строения его проекции Шлегеля. В [5, р. 745] этот вопрос считается очевидным: «Polyhedra P1and Q: obviously do not exist». (Здесь С22 обозначен как Pr ) Между тем досадно, что невозможность фуллере­ на С22 не удаётся доказать алгебраически, исходя из известных комбинаторно-геометрических со­ отношений. Существование бесконечной серии фуллеренов, начиная с С24в обоих случаях, доказы­ вается конструктивно - предъявлением «полусфе­ рических» фрагментов различной конструкции, композиция которых вместе с различным чис­ лом поясов, состоящих из гексагонов, обеспечива­ ет существование фуллерена С с нужным v > 24. В [5] приведены 4 «полусферических» фрагмента, в [11] - 5, что составляет их полное число. Встраи­ вание в структуру поясов гексагонов порождает серию фуллеренов с собственным названием «ту-