Тиетта. 2009, N 4 (10).

12 Примечательной особенностью области зна­ чений с/а, задаваемой полиэдром Дюрера, явля­ ется нахождение внутри неё двух специальных чисел: 1.618... и 1.633... Первое из них, ф, выражает золотое сечение, имеющее приложения в самых разных областях математики, но не играющее ни­ какой роли в классической кристаллографии. Бо­ лее того, в силу трёхмерно-периодического строе­ ния кристаллов на них невозможны тела Платона, связанные с числом ф, т.е. додекаэдр и икосаэдр (хотя и высказывались резонные предположения, что прообразами для построения античными математиками этих тел послужили природные кристаллы пирита, FeS2, часто имеющие подоб­ ную форму). Кажется забавным, что отвергнутое выше по критерию угла а золотое сечение возни­ кает вновь в другой форме. Не следует, однако, пу­ скаться на основании этого факта в рассуждения об изобретательности художника, столь замысло­ вато зашифровавшего число ф: для этого были бы необходимы представления о структуре кристал­ ла и понятия, выработанные только к концу XIX в. Наличие в многограннике Дюрера отношения с/а=ф гораздо проще объясняется его близостью к числу 1.633..., действительно тесно связанному с геометрией кристаллов. Структура очень многих веществ построе­ на по принципу плотнейшей шаровой упаков­ ки. В ней каждый шар касается двенадцати дру­ гих, причём для размещения ещё хотя бы одного шара того же радиуса места не остаётся. Суще­ ствуют два основных отличающихся по симме­ трии типа плотнейших шаровых упаковок: ку­ бическая и гексагональная. Последняя как раз и характеризуется отношением с/а = 1.633... В кри­ сталлах с этой упаковкой ромбоэдр, строго гово­ ря, невозможен, т.к. его симметрия не согласуется с симметрией расположения эквивалентных пло­ скостей в структуре. Но во многих случаях доба­ вочные ионы помещаются в пустотах упаковки и понижают её симметрию, так что появляются семейства плоскостей, соответствующие ромбоэ­ дру. В рамках такой схемы можно интерпретиро­ вать структуры упомянутых выше карбонатов, где сравнительно крупные ионы О располагаются по мотиву плотнейшей упаковки, а размещение ио­ нов Ca (в кальците) обеспечивает существование ромбоэдрических плоскостей. Впервые геоме­ трию плотнейших шаровых упаковок системати­ чески рассмотрел И. Кеплер в 1611 г., почти спустя 100 лет после создания Дюрером своей гравюры. Что же касается метрики упаковок (в частности, отношения c/a), то она была детально разработана лишь к концу XIX в. в трудах англичанина У. Бар­ лоу (1845-1934). Нет документальных оснований предполагать, что Дюрер или кто-либо из его со­ временников специально занимались вопросами плотнейшей укладки сфер равного радиуса в про­ странстве. И всё же весьма символично соседство на гравюре сферы и многогранника с отношением c/a = 1.633 (причём отношение поперечника мно­ гогранника к диаметру сферы отличается от фвсе­ го на 1%). Этим как бы иллюстрируется интуиция художественного творчества, улавливающая глу­ бинные связи между совершенно разнородными объектами действительности. В сущности, так ли важно, какой именно ми­ нерал принял Дюрер за образец для своего про­ изведения? Гораздо важнее другое. Как сказал один из главных творцов структурной кристал­ лографии Е.С. Фёдорова (1853-1919), «кристаллы блещут симметрией». Дюрер был этим блеском, безусловно, очарован, но не только. Выбор столь экзотического по классическим канонам много­ гранника заставляет предположить, что Дюрер первый поставил вопрос (притом столь необыч­ ным для современной науки способом) о происхо­ ждении кристаллических форм. Исчерпывающе­ го ответа на него не найдено до сих пор. Наверное, можно так уточнить суть загадки, предложенной Дюрером: если Природа гармонична, почему производимые ею многогранники «вообще» не являются правильными? Конечно, чтобы поста­ вить вопрос такого типа, необходимо прежде пу­ тём измерения удостовериться в справедливости прямого или обратного утверждения. Что такие измерения как будто бы только что проделаны, может свидетельствовать циркуль в руках демона. А идеология измерения как начального этапа лю­ бой науки зарождалась как раз во времена Дюре­ ра. В таком случае его следует считать не только первым кристаллографом, но и одним из первых учёных, усомнившихся в значимости мистиче­ ского, трансцендентального, всеобъемлющего толкования правильных геометрических фигур. Если это так, то смелостью мысли он намного опередил своё время, ведь древней вавилонско- пифагорейской традиции обожествления чи­ сел и фигур следовали и 100, и 200 лет спустя та­ кие гиганты, как Кеплер (1571-1630) и Лейбниц (1646-1716). Да и в наши дни рационалистической науки эта идея находит всё новых приверженцев. Уместным заключением этого небольшого исследования может послужить, на мой взгляд, стихотворение «великого шлиссельбуржца» Н.А. Морозова (1854-1946) «Кристаллы», посвя­ щённое Е.С. Фёдорову: В недрах стеклянных фиалов, Словно волшебный скульптор, Светлые грани кристаллов Лепит бесцветный раствор. В нас из сплетений неясных Мыслей, мечтаний и дум Грёзы творений прекрасных Вечно ваяет наш ум. Родствен семье минералов Мир бестелесных идей. Грёзы, как грани кристаллов, Вкраплены в душах людей. Стихотворение написано в 1919 г., через 405 лет после создания Дюрером своей гравюры. Как видно, чары кристаллов вечны... ,