Тиетта. 2009, N 3 (9).

площадным долям в плоских сечениях, измерен­ ным так или иначе: dV : dV0: — : dV = dS : dS0: — : 1 2 n 1 2 dSn. Делесс опробовал свой метод на макроскопи­ ческих образцах, Солла (W.J. Sollas, 1887-1892) - на зарисовках петрографических шлифов, Джоли (J. Joly, 1903-1905) - на их микрофотографиях. Обо­ снование метода выполнено в целом корректно. Делесс рассуждал так. Пусть образец горной по­ роды соотнесён с прямоугольной декартовой си­ стемой координат ХУZ. Обозначим p(z) площадь некоторой минеральной фазы в плоскости, не­ прерывно скользящей вдоль Z. Тогда объём фазы в образце равен: V = J p(z)dz. В силу естественных причин площадь p(z) заключена между миниму­ мом m и максимумом М. Поэтому mZ < V < MZ, где Z - высота образца. Для случая, когда p(z) = const = p, объём фазы в образце равен рZ - объёму цилиндра с основанием р и высотой Z. То же вер­ но для любой другой фазы, из чего сразу следует приведённое выше соотношение, означающее по сути, что отношение объёмов цилиндров с рав­ ными высотами равно отношению площадей их оснований. Итак, главное условие, на котором стоит метод, p(z) = const. По Делессу, оно должно соблюдаться для «достаточно больших» сечений образца тем точнее, чем равномернее фаза рас­ пределена в горной породе. Легко видеть, что на практике эти условия не соблюдаются. Варьирующие в широком диапа­ зоне площадные доли минеральных фаз обычно суммируются для «достаточно большого» числа шлифов (разных по площади и потому имеющих разный «вес» в статистической совокупности) и принимаются за объёмные доли. Эта процедура не имеет отношения к методу Делесса ни в слу­ чае, когда каждый новый шлиф принимается за последовательное сечение образца, скользящее вдоль Z, ни тогда, когда все шлифы в совокуп­ ности представляются его единым сечением. На практике обычно р ^ ) Ф const. Влияние этого об­ стоятельства на точность метода изучалось многи­ ми авторами уже на заре его применения [3, 4]. Акер (A. Hacquert. Modification de l'appareil de Shand et son employ dans l'analyse mineralogique quantitative des roches meubles. Liege, 1929. Цит. по [5, с. 15-16]) обосновал метод Делесса ссылкой на принцип Кавальери. В работе «Geometria Indivisi- bilium continuorum nova quadam ratione promota» (1635) (Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых непрерывного. М.-Л.: Гостехиздат, 1940. Цит. по [6]) Кавальери развил «метод неделимых» определения площадей и объёмов. Неделимыми он назвал параллельные хорды плоской фигуры, или плоские сечения трёхмерной фигуры, и ввёл понятие «суммы всех неделимых» внутри контура фигуры, ставшее за­ родышевой формой определённого интеграла. Принцип Кавальери формулируется следующим образом: если при пересечении двух тел плоскостью, параллельной некоторой ранее заданной плоскости, получаются сечения равной площади, то объёмы тел равны между собой. Это положение (и аналогичное ему для плоских фигур) было известно древнегре­ ческим математикам, и Кавальери, строго говоря, его доказывает, а не принимает как принцип. Тру­ ды Кавальери сыграли большую роль в развитии интегрального исчисления. Но в целом оно по­ шло по более плодотворному пути разложения величины на элементарные части того же изме­ рения. Неправильный шаг Кавальери состоял в рассмотрении плоской фигуры как суммы конеч­ ного числа узких прямоугольных полосок, а трёх­ 9 Рис. 2. Параллельная (слева) и пилообразная (справа) индикатрисы. Fig. 2. Parallel (left) and serrate (right) indicatrices.