Тиетта. 2009, N 2 (8).

5 ми нормалей и отношениями площадей граней. Ориентация граней простой формы определяет ориентации нормалей. Но отношения площадей не заданы, что и порождает немалое комбинатор­ ное разнообразие полиэдров для большинства закрытых простых форм. В [13-15, 17, 18, 54, 66] опубликованы и охарактеризованы точечными группами симметрии все реальные кристалло­ графические октаэдры, тетрагональные, ромбиче­ ские и тригональные бипирамиды, тригональные и тетрагональные трапецоэдры, а также комбина­ ции куба и октаэ­ дра. Их исследова­ ние лежит в русле идей Е.С. Фёдоро­ ва, тяготевшего к систематическому перечислению из­ учаемых объектов и отмечавшего в курсе кристалло­ г р а ф и и 1891 г. н е о б х о д и м о с т ь изучения форм, от­ клоняющ ихся от и д е ал а . Их и з о ­ билие в природе зафиксировалУ Goldschmidt [47]. По-видимому, результаты найдут основное применение при расшифровке генезиса минеральных индивидов [7, 8, 16] в соответствии с принципом диссимме- трии П. Кюри [21, 39, 40]. Это классическая тема российской минералогии [22, 23, 28-30, 33]. Второе приложение результатов также сле­ дует из разработанных по ходу дела алгоритмов и компьютерных программ. При условии f3= f4= f7= f8= ... = 0 из (9) и (10) следует: f5= 12, f = 12 + f6. То есть у простого полиэдра, на котором разре­ шены лишь 5- и 6-угольные грани, первых ровно 12 при отсутствии видимых ограничений на вто­ рые. Это активно изучаемый класс фуллеренов, удивительный по разнообразию форм и прило­ жениям в естествознании. Между тем, среди 4- ... 12-эдров (более 6.8 миллиона форм), генериро­ ванных с помощью фёдоровского алгоритма, мы находим лишь простейший фуллерен - додека­ эдр. Уже это показывает избыточность алгорит­ ма для перечисления комбинаторно различных фуллеренов. После его упрощения для решения столь узкой задачи найдены и охарактеризованы все (5770) фуллерены диапазона С20- С60, все (1236) фуллерены С62 - С70 без триплетов контактирую­ щих пентагонов и все (1265) фуллерены С72- С100с изолированными пентагонами. В диапазоне С20- С100кроме заведомо стабильных форм С60 (-3-5m) и С70 (-10m2) найдены 12 потенциально стабильных (высокосимметричных, без контактирующих пен­ тагонов) фуллеренов, нахождение которых в при­ роде весьма вероятно. Результаты изложены в [5, 6, 9-12, 55-59, 63, 65, 68]. Но самое главное приложение результатов следует из текстов самого Е.С. Фёдорова. В пись­ ме к П. Гроту от 26 марта 1893 г. сказано: «Через неделю я надеюсь отправить Вам свою новую не­ большую работу «Проблема-минимум в учении о симметрии». В этой работе объясняется, почему получается так, что большинство естественных кристаллов симметричны, а не асимметричны, как этого можно было бы ожидать, исходя из теории вероятностей. Это следствие принци­ па наименьшего действия, который приводит к тому, что при образовании кристалла вступа­ ет в силу принцип минимальной поверхности. И вот в моей работе доказывается, что самые симметричные формы обладают также и мини­ мальной поверхностью. Так что проявляющуюся в природе симметрию следует рассматривать как закономерное следствие экономии, выраженной в известном законе наименьшего действия стро­ го математически» [32, с. 35]. Неясно, на каких теоретических данных базировался Е.С. Фёдоров, полагая априорную вероятность асимметричных кристаллических полиэдров более высокой, чем симметричных. Полученная им статистика аб­ страктных 4- . 7-, а также простых 8- и 9-эдров говорит обратное: первые асимметричные фор­ мы встречаются среди 7-эдров (их доля составляет 7/34), среди простых 8- и 9-эдров их доли равны 2/14 и 16/50. Среди всех 8-эдров доля асимметрич­ ных составляет 140/257 [50], то есть уже превыша­ ет половину. Как обосновано выше, Е.С. Фёдоров не знал этой работы. Но представляется важным, что он соединял в сознании два многообразия - абстрактных и кристаллических полиэдров. При этом он верно ощутил различие меж­ ду абстрактными и кристаллическими поли­ эдрами, проявляющееся в статистике точеч­ ных групп симметрии и выявленное к настояще­ му времени на большом материале. Все 4-, 5- и 6-эдры (1, 2 и 7, соответственно) комбинаторно симметричны. Из 7-эдров (всего 34) комбина­ торно асимметричны 7 (20.588%), 8-эдров (257) - 140 (54.475%), 9-эдров (2606) - 2111 (81.005%), 10-эдров (32300) - 30014 (92.923%), 11-эдров (440564) - 430494 (97.714 %), 12-эдров (6384634) - 6336013 (99.238%), простых 13-эдров (49566) - 47030 (94.884%), 14-эдров (339722) - 331796 (97.667%), 15-эдров (2406841) - 2382352 (98.983%) и 16-эдров (17490241) - 17411448 (99.550%). Тенденция оче­ видна: с ростом числа граней (или вершин - в том смысле, что дуальные полиэдры имеют ту же сим­ метрию) доля комбинаторно асимметричных по