Тиетта. 2009, N 2 (8).

4 в виде гранного символа [f5 f6 ... fj. Но известно, что выпуклый полиэдр существует не для всяко­ го символа. 2. Перечисление для каждого симво­ ла [f5f6 ... fj всех неповторяющихся кортежей из f граней, среди которых f5 5-угольных, f6 6-уголь­ ных... f. i-угольных. 3. Построение проекции Шле- геля полиэдра для каждого кортежа, если поли­ эдр возможен. Процедура прекращается, если: (а) полиэдр построен в соответствии с кортежем, (б) полиэдр построен до исчерпания кортежа, (в) полиэдр не построен, но кортеж исчерпан, (г) на некотором шаге требуемая грань отсутствует в кортеже. 4. Сравнение полиэдров, отвечающих данному кортежу, и устранение повторов. 5. Опре­ деление точечной группы симметрии полиэдра. 6. Получение изображения полиэдра данного ком­ бинаторного типа. Все (67) простые 12- ... 20-эдры без 3- и 4-угольных граней найдены «вручную» и опубликованы в [4]. В [19] охарактеризованы все 12- . 25-эдры этого класса, найденные с помо­ щью компьютерных программ, и опубликованы проекции Шлегеля самых симметрич­ ных представите­ лей. Систематиче­ ское перечисление простых 25-эдров н а х о д и т с я д а л е ­ ко за обозримым гори зон том . Тем самым, операция у надолго исклю­ чена из фёдоров­ ского алгоритм а. Алгоритмы пере­ числения к ом би ­ н а то р ны х ти п о в п о л и э д р о в с з а ­ данным гранным символом, сравнения повто­ ряющихся форм, определения точечной группы симметрии, построения проекций Шлегеля и трёхмерных изображений наиболее подробно приведены в [24]. И сторический экскурс. Не следует ду­ мать, что перечисление комбинаторных типов выпуклых полиэдров началось с Е.С. Фёдорова и следовало лишь его алгоритму. История интерна­ ционального исследования проблемы выглядит следующим образом. Систематическое перечис­ ление комбинаторных типов полиэдров начал Т.Р. Kirkman [50], описавший (без рисунков) все 4- ... 8-эдры и двойственные им 4- ... 8-вершинни­ ки. Затем Е.С. Фёдоров [25] нашёл и изобразил все 4- ... 7-, а также простые 8- и 9-эдры. Работа [50] ему не была известна. Это ясно из того, что число 7-эдров у него отлично от [50], и он это не обсуждает. О. Hermes [49] независимо нарисовал все 4- ... 8-эдры, M. Bruckner [38] - простые 4- ... 10- эдры, C.J. Bouwkamp [35] - полиэдры с числом рё­ бер до 14. Этим завершился «период рисования». Прошло немало лет, прежде чем вооружённые компьютерами математики вернулись к пробле­ ме. D.W. Grace [48] пересчитал все простые 4- ... 11-эдры, R. Bowen & S. Fisk [36] - все 4- ... 12-вер­ шинные триангуляции на сфере и тем самым - двойственные им простые 4- ... 12-эдры. D. Britton & J.D. Dunitz [37] изобразили все 4- ... 8-вершинни­ ки, P.J. Federico - дуальные им 4- ... 8- и все 9-эдры [45, 46]. Число всех 10-эдров впервые нашли A.J.W. Duijvestijn & P.J. Federico [41], ими же дана статистика полиэдров с различными порядками групп автоморфизмов. P. Engel с помощью ком­ пьютерного варианта фёдоровского алгоритма нашёл все 11-, 12- и простые 13-эдры [42, 43] и дал наиболее полную статистику простых 4- . 15-эдров по порядкам групп автоморфизмов [44]. В работах [2, 3, 20, 52, 53, 60-62, 64, 67, 69] проверены данные о комбинаторных типах и точечных груп­ пах симметрии всех 4- ... 12-, а также простых 13... 16-эдров, устранены ошибки и опубликованы изображения всех 4- ... 8- и простых 9- ... 12-эдров, поскольку до сих пор их лучшим описанием яв­ ляется изображение. Точечные группы симме­ трии простых 13- . 16-эдров найдены впервые. Они характеризуют полиэдры гораздо детальнее, чем порядки групп автоморфизмов. Кроме того, точечные группы симметрии прямо приспосо­ блены к использованию результатов в области кристаллографии. Самые полные статистики вы­ пуклых полиэдров с различными числами граней и вершин, а также их точечных групп симметрии даны в таблице. Что касается изображений поли­ эдров и их описаний точечными группами сим­ метрии и гранными символами, то монография не имеет аналогов в мировой литературе. Приложения. Первое приложение отно­ сится к минералогии и использует процедуры, разработанные при компьютеризации фёдо­ ровского алгоритма. Речь идёт о перечислении реальных кристаллографических простых форм. Под таковой подразумевается полиэдр, ограни­ ченный хотя бы некоторыми из граней идеальной простой формы, находящимися в стандартной ориентации, но на произвольном расстоянии от начала координат. Моноэдр, пинакоид, диэдр, тригональная пирамида и призмы не порождают реальных кристаллографических простых форм. Для ромбических и тетрагональных тетраэдров и пирамид, кубического тетраэдра, куба и ром­ боэдра определение тривиально. Теорема Мин- ковского утверждает, что выпуклый полиэдр с точностью до подобия фиксируется ориентация