Тиетта. 2009, N 2 (8).

3 транслироваться в многообразие простых (n+1)- эдров. Ошибка в перечислении непростых (n+1)- эдров может транслироваться в многообразие непростых ( п +1)- эдров следующих порядков. Вто­ рой недостаток - большое число повторяющихся форм. Уже операции а и р, применённые к те­ траэдру, порождают полиэдр с комбинаторикой трёхгранной призмы. Сравнение и отбраковка повторяющихся форм - хорошо известная про­ блема изоморфизма графов. Е.С. Фёдоров оценил её следующим образом. «Из изложенного видно, в какой мере усложняется разрешение вопроса всякий раз при переходе от низшего порядка к следующему. Дальнейшие упрощения становят­ ся существенно необходимыми для развития этой области знаний» [25, с. 329]. Именно в этом пункте автором предложена существенная оптимизация алгоритма. Е.С. Фёдоровым рекомендовано его сле­ дующее рациональное применение. Операция a как самая простая применяется для получения простых полиэдров, содержащих хотя бы одну 3-угольную грань. Операция р применяется для получения простых полиэдров, не содержащих ни одной 3-угольной грани, но содержащих хотя бы одну 4-угольную грань. Наконец, операция g применяется для получения простых полиэдров, не содержащих 3- и 4-угольных граней, но содер­ жащих хотя бы одну 5-угольную грань. Но для по­ следних из (8) следует: f5= 12 + f7+ 2fs + 3f9+ ... (9) а (1) принимает вид: f = 12 + f6+ 2f7+ 3f8+ 4f9+ ... (10) Неотрицательные решения диофантова уравнения (10) возможны лишь при f > 12. Ми­ нимум f = 12 достигается при f6 = f7 = f8 = ... = 0. Одновременно из (9) следует f5= 12, т.е. все грани - 5-угольные. Это хорошо известный додекаэдр. Таким образом, «хотя бы одна 5-угольная грань» означает - не менее 12 таких граней. Для Е.С. Фё­ дорова, нашедшего «вручную» все 4- ... 7-эдры, простые 8- и 9-эдры и «парногранники» вплоть до 12-эдров, перспектива систематического вывода хотя бы всех простых 12-эдров осталась неразре­ шимой, а додекаэдр - единственным полиэдром, для вывода которого использованаоперация g. Отсюда последовала идея автора - независи­ мым перечислением простых полиэдров без 3- и 4-угольных граней, для получения которых как раз и нужна операция g, отложить её применение в фёдоровском алгоритме как можно далее. Задача решается в несколько шагов. 1. Реше­ ние в неотрицательных числах f (i > 4) диофанто- ва уравнения (9). Каждое решение записывается Таблица. Числа комбинаторно различных полиэдров с F гранями и V вершинами. Таблица. (продолжение)