Тиетта. 2009, N 2 (8).

2 на полиэдре 3-, 4- и 5-угольных граней, необходи­ мых в силу известной геометрической теоремы. В статье [25] Е.С. Фёдоров действительно вы­ шел за пределы кристаллографии в область ком­ би н а торн ой г е о м е т р и и в ы п у к л ы х п о л и э д р о в , п р е д л о ж и в с п о с о б их рекуррентно­ го п е р е ч и с ­ л ен и я . П ри этом комби­ наторная гео­ м е т р и я вы ­ пуклы х п о ­ л и э д р о в превращ ен а им в « о б о ­ л о ч к у » м и н е р а л о ­ г и ч е с к о й к р и с т а л л о ­ графии со многими смысловыми связями между ними. Ни до, ни после Е.С. Фёдорова никто не охватывал единым рассмотрением два мира - кристаллических и абстрактных полиэдров. Уже на выведенных им 4- ... 7- и простых 8- и 9-эдрах он заметил тенденцию к преобладанию комбина­ торно асимметричных форм, что противоречило интуиции минералога. Рискну предположить, что этим были стимулированы работы по изуче­ нию геометрии кристаллического пространства. Перечисление комбинаторных типов выпуклых полиэдров стало впоследствии важной матема­ тической задачей с приложениями в различных областях естествознания. Фёдоровский алгоритм оказался замечательно приспособленным для компьютеризации. Именно благодаря ему уда­ лось получить наиболее полные результаты, воз­ вращающие - впервые после Е.С. Фёдорова - при­ оритет российской науке в этой области. Фёдоровский алгоритм . Разъясним корот­ ко суть алгоритма, предложенного Е.С. Фёдоро­ вым. Пусть f - число i-угольных граней, f, e и v - общее число граней, рёбер и вершин любого вы­ пуклого полиэдра. Тогда: f3+ f4+ f5+ f6+ . 3 f + 4 f + 5 f + 6 f + . 3 4 5 6 f 2e (1) (2) Умножим (1) на 6 и вычтем (2): Для любого выпуклого полиэдра выполне­ но соотношение Эйлера: f - e + v = 2 (4) и нестрогое неравенство: 2e - 3v > 0 (5) в котором равенство достигается для п р о ­ стых полиэдров. Умножим (4) на 6 и прибавим удвоенное (5): 6f - 2e > 12 (6) Подставим (6) в (3): 3f3+ 2f4 + f5> 12 + f7+ 2f8+ 3f9+ ... (7) Для простых полиэдров (7) преобразуется в диофантово уравнение: 3f3 + 2f4 + f5 = 12 + f7+ 2f8 + 3f9 + ... (8) 3f3 + 2f4 + f5= (6f - 2e) + f 7 + 2f8 + 3f9 + ... (3) решения которого служат Эбергардту основным классификационным признаком соответствую­ щих форм. Из (7) следует невозможность выпуклого по­ лиэдра без 3-, 4- и 5-угольных граней одновремен­ но. Для их генерирования как раз и служат опера­ ции a, р и у фёдоровского алгоритма. Операция a позволяет получить новую 3-угольную грань отсечением простой (в которой сходятся ровно 3 ребра) вершины полиэдра. Операция р позволя­ ет получить новую 4-угольную грань отсечением ребра, соединяющего 2 простые вершины. Опе­ рация у позволяет получить новую 5-угольную грань отсечением 3 смежных простых вершин. Таким образом, 3 операции отсечения генериру­ ют из простых n-эдров (n > 4) простые же (n+1)- э д р ы . О п е ­ р а ц и я ы р е д у к ц и и (стягивания) ребра может п р и м е н я т ь ­ с я п о с л е ­ д о в а т е л ь н о н е с к о л ь к о раз, п о р ож ­ д а я н е п р о ­ стые п о л и э ­ дры всё более высоких по­ рядков с со­ х р а н е н и е м числа граней. Из ска­ занного вид­ н о , ч т о ф ё ­ доровский алгоритм не свободен от недостатков. Первый состоит в его рекуррентном характере. Ошибка в перечислении простых n-эдров может