Север и рынок. 2018, № 6.

x ( n) = k ( x - X ) . Данное уравнение легко решается в явном виде. Его корни образуют на плоскости комплексного переменного X-вершины правильного « -угольника. При этом устойчивость желаемого стационарного состояния (х =X, x i = Х 2 = ... = 0) определяется тем, отрицательны ли вещественные части корней Xхарактеристического уравнения X ” =-к (рис. 1), так как в противном случае имеет место лавинообразное нарастание колебаний (за счет экспоненциальной компоненты; сами колебания обусловлены наличием мнимой части). 1 Im 1 Re 1 Рис. 1. Корни уравнения X ” = - к n = 1 При ” = 2, корни Xj 2 = ± iy[k лежат на границе устойчивости, однако появляются гармонические колебания. При n > 3 некоторые вершины правильного «- угольника обязательно лежат в неустойчивой (правой) полуплоскости ( Re X> 0). Из этого следует, что многоступенчатое управление изменениями является неустойчивым и может приводить к регулярным, непрерывно усиливающимся «метаниям из стороны в сторону». 3. Опасность потери устойчивости при оптимизации и интенсификации Для описания естественной динамики популяций в биологии обычно используется логистическая модель вида X = x — k (x )x — c , где с — это объем принудительного изъятия исследуемого самовосстанавливаемого природного ресурса; x(t), к(х) — линейная функция от х. Например, x - - это объем рыбы в мировом океане, а с - - квота (интенсивность) вылова (для удобства будем считать, что показатели нормированы). Математически путем замены переменных она может быть приведена к виду x = x — x 2— c . 1 Результат, который она дает, резко меняется при c = - - критическом значении, являющимся 4 максимумом функции x - x 2(рис. 2) . 1 При c <— популяция имеет два равновесных состояния: 4 — B , которое устойчиво (численность восстанавливается при малых отклонениях x); — A , которое неустойчиво (если вследствие каких-либо причин численность популяции упадет ниже уровня A , то в дальнейшем она будет уничтожена полностью за конечное время). 1 При c >— популяция гарантировано уничтожается. 4 При c =— мы имеем стационарное состояние U = - (какова бы ни была начальная величина 4 2 популяции х > - , с течением времени она снизится до данного уровня) и оптимальный размер изъятия, когда популяция не уничтожается, эффект от ее эксплуатации достигает максимально возможного значения (большее изъятие в течение длительного времени невозможно). Однако этот режим неустойчив - - случайное уменьшение x приводит к полному уничтожению популяции. 2i2