Приборы и методика геофизического эксперимента : сборник научных трудов / Рос. акад. наук, Кол. науч. центр, Поляр. геофиз. ин-т. – Мурманск : [б. и.], 1997. – 166 с.

Козелов Б. Б. Мультифракталы и их характеристики Анализ поведения многих нелинейных динамических систем показал, что их описание с помощью единственного значения фрактальной размерности является слишком упрощенным. Для описания таких систем введено понятие "мультифракталы", которые характеризуются спектром фрактальных размерностей. Для исследования мультифрактальных свойств по данным эксперимента необходимо рассмотреть некоторую вероятностную меру, которая строится из исходных данных исходя из физических соображений о происходящем явлении. Так, в работе [9] анализировалась мультифрактальная структура последовательности обращений геомагнитного поля, и вероятностная мера строилась как доля общего времени, занятая текущим интервалом одинаковой полярности. В работе [23] исследовалась мультифрактальная структура ММП и в качестве вероятностной меры рассматривался магнитный поток, проходящий через спутник за текущий интервал времени, нормированный на полный поток за весь интервал наблюдений и на время наблюдений. Предполагалось, что магнитное поле вморожено и переносится с постоянной скоростью. Более сложная конструкция вероятностной меры использовалась в [24] при исследовании объемной диссипации энергии за счет турбулентности в солнечном ветре. При исследовании динамических систем бывает удобно сконструировать многомерное фазовое пространство (см. раздел о корреляционной размерности) и ввести меру как вероятность того, что траектория системы остается внутри шара определенного размера [1]. После того как соответствующая вероятностная мера { m0(i)\ г-0, 1, ... , Л'} построена, для каждого и=1, 2, ... т (2m< N) последовательность \т0(i)} разбивается на наборы по т„=2" точек и вычисляются суммарные вероятности для каждого набора. Обозначим их mn (i) и определим статистические моменты как Mn(q) = < т пч> N /тп (5) (здесь угловые скобки обозначают усреднение). Обычно рассматривают моменты для q от -10 до 10 с шагом 0,5. Из выражения (5) видно, что для больших положительных q наибольший вклад в статистический момент Mn(q) дают наборы с большими вероятностями mn(i), а для отрицательных q - с малыми вероятностями. Основное свойство мультифрактала заключается в том, что статистические моменты масштабируются, т. е. Mn(q)~(xn/N)Y(4). (6) При этом, вообще говоря, разные моменты имеют различные показатели у (q). Подставляя (5) в (6), получаем < т пч> ~ (in/ N)s(q), (7) где s(q) = y+l. Т. к. первый момент есть просто среднее значение, он остается константой и не масштабируется, поэтому запишем y(q) = (q-1) D(q). Отсюда D(q) = (s(q)-l)/(q-l), (8) где согласно (7) значения находят по графикам зависимостей In <тпч> от In (т„/Лг). Полученная зависимость D(q) называется спектром мультифрактальных размерностей. Имея эту зависимость, рассчитывают также спектр сингулярностей f ( a ) , который связан с D(q) уравнениями: 114