Приборы и методика геофизического эксперимента : сборник научных трудов / Рос. акад. наук, Кол. науч. центр, Поляр. геофиз. ин-т. – Мурманск : [б. и.], 1997. – 166 с.

Фрактальный анализ Процедура согласно [10] заключается в следующем. Из экспериментального временного ряда x (t), состоящего из эквидистантных выборок, образуются (/-мерные векторы Х„, л=0, 1, ... , координаты которых состоят из выборок х с последовательно возрастающими сдвигами, кратными времени квантования данных т, т. е. Х,= {x(ti), x(tj+z ) , ... ,x (tj+ (d -l)х)} При достаточно большом сдвиге векторы Х„ становятся независимыми, поэтому их можно принять за последовательность точек в фазовом rf-мерном пространстве. Для выбора времени квантования т существует рекомендация выбирать ее равной 1/2 или 1/4 от времени, при котором автокорреляционная функция ряда x (t) достигает своего первого минимума. По построенному набору Х„ рассчитывается корреляционный интеграл, определяющий вероятность того, что расстояние между парой векторов меньше, чем заданное расстояние г. с 0 )= 4 r Z X б<н х, -XjD, (4) 141 1=1 jr=l j*‘ где 0 - функция Хевисайда, N - число векторов в наборе. Если корреляционный интеграл зависит от г по степенному закону С(г)~гь, то показатель степени представляет собой корреляционную размерность процесса b=Dc. Эта размерность является оценкой снизу для размерности Хаусдорфа- Безиковича D: IJ<D. Практически, для определения Dc необходимо построить зависимости In С (г) от In г при различных возрастающих значениях пространства вложения <1. Расчет заканчивается, если наклон графика перестает меняться с ростом d. Полученное значение Dc можно считать достаточно надежным, если оно не меняется вплоть до d=2Dc+\. Описанный метод определения корреляционной размерности применим при Dc< 5, и обычно используется как довод в пользу того, что поведение системы описывается малым числом уравнений. Если при этом полученное значение Dc не является целым числом, то говорят, что система имеет аттрактор, обладающий фрактальными свойствами (странный аттрактор). В случае чисто белого шума при любых значениях d насыщения корреляционного интеграла не происходит и C(r)~rd. Если в экспериментальном временном ряду присутствует шум с амплиту дой г0, то в области масштабов г<2г0 поведение корреляционного интеграла соответствует выражению для белого шума. Однако в области масштабов г>2г0 наличие шума не влияет на поведение корреляционного интеграла. Это свойство позволяет отделить хаотический процесс динамического происхождения от аддитивного белого шума. Определение корреляционной размерности по различным геофизическим данным проводилось во многих работах. Целый ряд работ был посвящен анализу фрактальной размерности АЕ и AL индексов (см. [11] и ссылки в ней). В работе [12] показано наличие низкоразмерного странного аттрактора в вариациях слоя Es. В работе [13] исследовалась размерность КНЧ-хоров. В работе [14] предложено использовать корреляционную размерность, определяемую по измерениям магнитного поля в низких широтах, как характеристику активности Солнца. Наиболее существенное влияние на результаты расчета корреляционной размерности по методу [10] оказывают правильный выбор времени квантования х и общее число N точек в наборе. Обсуждению применения этого метода, его ограничений, а также его модификаций посвящены, например, работы [15-22]. В последней работе получена наиболее оптимистичная оценка для минимального числа точек в наборе, необходимых для получения корреляционной размерности: N > 42 ( J r J ^ ) L , где D - корреляционная размерность. 113