Приборы и методика геофизического эксперимента : сборник научных трудов / Рос. акад. наук, Кол. науч. центр, Поляр. геофиз. ин-т. – Мурманск : [б. и.], 1997. – 166 с.

Козглов Б. В. о 7 „. С другой стороны, т значений Ft имеют собственное среднее и дисперсию, которую можно назвать внешней Таким образом, каждый масштаб г в диапазоне от t до Т характеризуется двумя, вообще говоря, различными значениями дисперсии - <o2iru>, осредненным по m значениям of*, и ст^, т. е. средней дисперсией в интервалах и дисперсией средних по интервалам. Общие соображения приводят к выводу, что с увеличением г от t до Т внешняя дисперсия падает от сг (полная дисперсия) до 0, а внутренняя растет от 0 до о2. Для самоаффинных множеств обе дисперсии должны быть некоторым образом масштабированны, а именно и a2exr~rb, при этом значения а и Ъ в совокупности характеризуют искомую самоаффинностъ. Изложенные соображения можно распространить на множества, заданные на регулярных сетках любой топологической размерности. В случае самоподобных множеств можно ожидать, что а=Ь, тогда фрактальная размерность множества определится как D=E-a. В тех случаях, когда встречное масштабирование обнаруживает значительную асимметрию, можно говорить о более сложной структуре множества, чем простое самоподобие. Таблица 2 Диапазон масштабов Фрактальная размерность по ст^ по а2^ 200-500 тыс. лет 0,47 0,54 0,5-40 млн. лет 0,95 0,88 В качестве примеров применения метода, в работе [8] приведены некоторые результаты расчетов фрактальных характеристик по различным геофизическим данньм. В частности, по данным об инверсиях геомагнитного поля за последние 160 млн. лет получены зависимости и <тех1 показанные на рис. 4. Анализировалось число инверсий геомагнитного поля за определенный интервал времени. Фрактальные размерности (табл. 2), оцененные по прямому и обратному масштабированию дисперсии, примерно одинаковы. Обращает внимание резкое изменение фрактальных свойств на временах около 0,5 млн. лет. На малых временах фрактальная размерность близка к 1/2 (как для броуновского случайного блуждания), что свидетельствует о случайном характере процесса, а в диапазоне больших времен процесс перестает быть хаотичным и проявляет признаки сам оорганизов анно сти. Более подробная интерпретация этих результатов дана в работе [9]. Корреляционная размерность Часто используемым является также метод, основанный на определении так называемой корреляционной размерности Dc. Этот метод тесно связан с теорией диссипативных динамических систем. В общем случае, нелинейная диссипативная динамическая система описывает в своем фазовом пространстве какую-то траекторию. Формально система может иметь очень много степеней свободы (параметров), однако показано, что во многих случаях поведение диссипативных динамических систем в основном зависит от малого числа критических параметров. Другими словами траектория системы в фазовом пространстве лежит вблизи маломерной поверхности притяжения (аттрактора). Если предположить, что рассматриваемый ряд измерений является сечением (проекцией) этой траектории, то можно попытаться оценить размерность этой траектории, конструируя многомерное пространство по измерениям одной величины. (При этом используется эргодический подход, т. е. равенство среднего по времени среднему по ансамблю). Этот метод особенно оправдан в тех случаях, когда трудно или невозможно из других соображений определить число независимых переменных системы и производить их одновременное измерение. 112