Пивоваров, В. Г. Генерация электрических полей в магнитосфере / В. Г. Пивоваров ; Акад. наук СССР, Кол. фил. им. С. М. Кирова, Поляр. геофиз. ин-т. – Апатиты : [б. и.], 1991.

решения задачи Неймана для уравнения Лапласа, если известна геометрия маг нитосферной полости, в которой запирается магнитный диполь, и токи внутри полости. Предположим, что такая модель есть. Найдем решение задачи в верхнем полукруге (z 0 ). При этом в нижнем полукруге решение будет зеркально сим метрично. Решение уравнения Лапласа найдем методом Фурье, предполагая, что частное решение можно представить в виде: Ф (*%<?) = R i f ) . У ( i f ) . После подстановки в уравнение Лапласа и преобразований имеем: г d d R 1 d V R d r r d r Y d f 2- ' Левая часть - функция только , правая -у>, что означает постоянство этих частей. Обозначая через к2 постоянную, найдем: \ d V , г У (Xу 1 ’ R d r d r Тогда Vk ( f ) = Ак -coskf + Bk-si.n к , R k ' i ‘ k . |< Следовательно, Ф к= ( ^ ) ■(ock cosk ^ + ^ s in k y ) . 2 3 При =0 a D + |-a1 cos ij) + p a z co s2y-K .. = o £ (Y - ), откуда a o=0 ; a 2= a 4 = a 5 = . .. 0 ; a, -ы. •, a 3= -o<:. Значит, Ф ( r , l ) = d. ( y c o s y - p cos3if ) + j ) Sin ky. В таком видеф(г,>|)) удовлетворяет и граничному условию при f = Если воспользоваться граничным условием при!-=1, то для определения ко эффициентов Ьк решим уравнение: - cos +cos 3 у = 1 -j- sin к^- Разлагая левую часть в ряд по sin(m,<f>), найдем коэффициенты Е>к : О, д л я к = 2 р +1 64 р _______________ JT (4р2Н ) (4рг -9) ’ АЛЯ к= 2 Р- Окончательно искомое решение задачи Дирихле можно записать: (г г'3 64р „ Р 2р1 Ф ( г , f ) - Ь » г - р A f - 9 ) Sl" 2 w г> /•12 ,77) 70