Physics of auroral phenomena : proceedings of the 38th annual seminar, Apatity, 2-6 march, 2015 / [ed. board: A. G. Yahnin, N. V. Semenova]. - Апатиты : Издательство Кольского научного центра РАН, 2015. - 189 с. : ил., табл.

которое с учетом калибровки Лоренца (2.9) дает следующее уравнение для скалярного потенциала = -c2t™AL (д с, t) = л__1_ J (. х ; P'(t - 14/с)) + Н ( х ; Р' ( t - |дс|/с) ) ] , Два точных решения уравнений Максвелла в однородном изотропном проводнике для точечного дипольного источника 4 ЛЕЕ0 1лТ где через ( а ;й ) обозначено скалярное произведение векторов в пространстве R3 . Интегрирование этого уравнения по времени с учетом нулевых начальных условий дает решение 1 4ле е 0 дсГ (х-,р (t - |дс|/с) )+Щх-,Р'(1 - |дс| / с ) ) (4.6) Подставляя полученное решение (4.5), (4.6) в формулы (2.1), нетрудно получить выражения для полей, которые выведены в [7] при помощи значительно более длинных выкладок. 5. Случай гармонических по времени полей Рассмотрим важный случай, когда ток в источнике, а значит и поля, гармонически зависят от времени: > F {s)(x,t)=Fis){x) -e‘“*', F =<p,A,E,D,H,B, (5.1) где co0— частота источника, и, следуя [ 8 ], через F^s\ x ) обозначена комплексная амплитуда. В этом случае телеграфное уравнение переходит в уравнение Гельмгольца для комплексных амплитуд: L Tu ( x s ) = f { x , t )H>Aum( x ) + k \ ( x ) =- ^ $ - ™ то есть к = '1 + где к = л- 1/2 Л - I 1 + со.О У VM<>co0(££0a)0- i a ) , (5.2) л 1/2 " « . = — ■ (5.3) ££п Из калибровки (2.5) и подстановки (5.1) вытекает соотношение „2 <Рт { х) = — f - div^m(jc) = (дс). Ш 0 +О«т (5.4) Подставляя это соотношение в (2.1), получаем выражение для амплитуд полей через амплитуду только одного векторного потенциала: 1 К (*) = rot Ат (дс), Ет (дс) = -V(pm (дс)- i<o0Am (дс) = Чш0 Ат (дс) + - j V d i v Am (дс) . ААт (х ) + к2Ат (дс) = { х ) , (5.5) Таким образом, для определения полей нужно реппггь уравнение Гельмгольца для комплексной амплитуды векторного потенциала: (5.6) а затем найти амплитуды полей по формулам (5.5). Отметим, что формулы (5.4)-(5.6) по форме полностью совпадают с записанными через волновое число формулами для диэлектрика (см., например, [1-5] и [7,8]), когда волновое число является чисто вещественным: k » k 0= a 0/ c = a 0j £ j 7 / c0 . (5.7) Отметим, что гармонические по времени поля в однородном изотропном проводнике для многих типов источников рассматривались в низкочастотном пределе (см. [1-5]), то есть без учета тока смещения, когда сой<%~соа =сг/( 5 £0) . В этом приближении в определяемом в (5.2) квадрате волнового числа к2 отбрасывается вещественная часть, то есть к2 считается чисто мнимым: к2 = - i a 0co(T/ c 2 = -i^ i^ 0co0(T. (5.8) Известен широкий набор задач (см. [1-5]), в каждой из которых получено приближенное «низкочастотное» решение для векторного потенциала, то есть получено решение уравнения (5.6) с соответствующими граничными условиями и условиями на бесконечности и с волновым числом, определяемым формулой (5.8). Калибровка (2.5) позволяет получить точное решение полных уравнений Максвелла для каждой задачи из этого набора в результате следующей формальной процедуры. Нужно выразить граничные условия и решение уравнения (5.6) в каждой из рассматриваемых в данной задаче сред через определяемые по формуле (5.8) волновые числа сред. Далее нужно в решении уравнения (5.6) для каждой среды и в граничных условиях волновые числа сред определять по формуле из (5.2), а амплитуды полей в каждой среде определять через амплитуду векторного потенциала по формулам (5.5). В качестве примера рассмотрим две задачи: поле точечного электрического диполя (диполь Герца) в бесконечном проводнике, а 139