Physics of auroral phenomena : proceedings of the 38th annual seminar, Apatity, 2-6 march, 2015 / [ed. board: A. G. Yahnin, N. V. Semenova]. - Апатиты : Издательство Кольского научного центра РАН, 2015. - 189 с. : ил., табл.

новая калибровка дает алгоритм нахождения полей, аналогичный тому, который дает калибровка Лоренца в случае диэлектрика, то есть без нахождения плотности заряда в источнике. 3. Формулы, описывающие решение задачи Коши для телеграфного уравнения в 3-мерном случае Рассмотрим задачу Коши для пространственно 3-мерного линейного телеграфного уравнения, постановка которой полностью аналогична таковой для волнового уравнения: L Tu (x , t ) =—^+co(T- ^ - - c 2Au = f ( x , t ) , x e l 3, t> О, ( 3 . 1 ) dt ot Два точных решения уравнении Максвелла в однородном изотропном проводнике для точечного дипольного источника = и"(х) , х е К . (3.2) 1=0 0 / „ . .О/ dt Здесь а ^ О н с > 0—заданные постоянные, f ( x , t ) , и0 (х ) и и ° ( х ) ~ заданные функции. Полностью аналогично тому, как это сделано для линейного волнового уравнения в [ 6 ], можно показать, что решение задачи (3.1)-(3.2) представимо в виде суммы объемного телеграфного потенциала к/°^[/](х,г) с плотностью / ( * , f ) , поверхностного телеграфного потенциала простого слоя с плотностью и° (л:) и поверхностного телеграфного потенциала двойного слоя w°j ( jc , /) с плотностью и0 ( х ) : « ( x , 0 = ^ o)[ / ] ( ^ 0 + ^ 1 ) [ « ? ] ( x , 0 + ^ 2 ) [» 0 ] V 0 - (3.3) При этом потенциалы определяются как свертки v t 0) [ f ] ( x , t ) =ST( x , t ) * f ( x , t )= j S T( x - y , t - T ) f ( y , r ) d 3ydT, Vrl) [«° ] {х, 0 = 4 (ж, t ) *и° (дг) = J 4 ( х - у, t) и0 ( у) с/3у, у}2) [и 0 ] (х, t) =~ Гг(1)[и 0 ](дс, t) (3.4) dt К" с фундаментальным решением £T(x,t) 3-мерного телеграфного оператора L T , которое определяется как решение уравнения L TST(x ,t ) =S ( x , t ) . Отметим, что непосредственно найти ST{x, t), используя преобразование Фурье, не получается. Для получения ST(x,t ) задачу Коши (3.1)-(3.2) необходимо преобразовать заменой коэффициента и неизвестной функции -а„1 (да = - Н а , u(x ,t ) =e 2 w(x, t) = e “°‘w (x,t) ( 3 . 5 ) к следующей задаче Коши для уравнения Клейна-Гордона-Фока [ 6 ]: c2Aw +a 2w =F ( x , t ), х € ® 3, t> О, где F (x,t) =е 2^ ' f ( x , t ) = е~ш‘f ( x , t ) , dt = ( .* ) = и® ( х ) + — и ° ( х ) = и°, ( x ) - i c o u ° ( х ) , х е ! 3 . (=0 ^ Фундаментальное решение 3-мерного оператора Клейна-Гордона-Фока, которое обозначим как SKGF{x,t), находится с помощью преобразования Фурье и имеет следующий вид (см., например, [ 6 ]): м - 4 - М + - ® м - м - j , [ - Ы - № ) ■ р - в 4* с ' 4тгс\ J ( c t f - |х | ' с ) 9(t) где £w[x,t) = — - j - 5 Sa (ж)- фундаментальное решение 3-мерного волнового оператора, 6{t) — тета- 4 лс t С1 функция Хевисайда, Ss^ (jc) —простой слой на сфере Scl = {х:|х| = с/} с плотностью 1, J, (s) —функции Бесселя, a S $ F{x,t) = - ~— = j J —J ( c t ) ' 2 |х |2 I — дополнительное к волновой части слагаемое. Применяя к (3.6) обратное преобразование (3.5) и учитывая равенство I l (s) =- i J ](is) для модифицированной функции Бесселя (функции Инфельда), получим для £т ( x , t ) следующее выражение: 137