Physics of auroral phenomena : proceedings of the 38th annual seminar, Apatity, 2-6 march, 2015 / [ed. board: A. G. Yahnin, N. V. Semenova]. - Апатиты : Издательство Кольского научного центра РАН, 2015. - 189 с. : ил., табл.

2. Оптимальная калибровки и телеграфные уравнения для потенциалов в случае проводника Обозначим через с 0 = \/^ £ 0р 0 и с =с0/у[ё/.7 соответственно скорость света в вакууме и в среде. Рассмотрим уравнения для потенциалов, которые в системе СИ вводятся соотношениями О.В. Мингалгв и др. дА (jc,/) I t ( 2 . 1 ) Для дальнейшего изложения введем линейные волновой L w и телеграфный L T операторы, которые действует по формулам Г* ( \ 3 U 2 * 2 д ^ /ЛО \ L wu(x,t ) =— r - c A u , L Tu( x, t) =—j+co<T— - c A u , соа = -----, (2.2) at dt ot ££0 где Д = divV — оператор Лапласа. Подстановка уравнений (2.1) в уравнение Пуассона (1.5) с учетом уравнений ( 1 . 2 ) дает уравнение для потенциалов, которое можно представить в следующем виде: d<p(x,t) L T(p(x,t) =— (p(r( x , t ) + p ^ ( x , t ) ) +— +coa(p(x,t)+c1<i\xA(x,t) в Ф'(Ох[г°;Г]); ££а \ / 8t\ at 1 2 L T<p(x,t)= С + ®aq> (х, t ) + c2di\A (x,t) ES(\ V (2.3) при x e Q \ s u p p j ^ s\ ? e [/u;7’], fi.n Аналогично подстановка уравнений (2.1) в уравнение Максвелла (1.6) с учетом уравнений (1.1) и (1.2) дает уравнение для потенциалов, которое можно представить в следующем виде: L TA ( x , t ) =— —_ /^ ( x ,/) -Y д<°(л'’0 +ю^(р^х ^ +c2di \A[x,t ) в £>'(Ох[/°;Г]); Е6r\ . 3t L r A ( x , t ) = -V ’ ■+ Q)a(p{x,t) +с2&\\А (л:,/) Из уравнений (2.3), (2.4) следует, что уравнение калибровки при х е Q \s u p p /'^ , te[t°',T], d<p(x,t ) dt + wa(p (x, t ) + c2divA (x, t ) = 0 (2.4) (2.5) равносильно тому, что каждый из потенциалов удовлетворяет своему отдельному телеграфному уравнению, не содержащему другой потенциал, которые имеют вид L T(p(x,t) =^ [ p a (x,t) +p ^ { x , t ] ^ в © ,(Qx[?°;7']); L Tcp(x,t) = — при x e Q \s u p p y ^ , t€[t°\T], ££п ( 2 . 6 ) L TA( x . t ) =-^—j ( ' \ x , t ) в ® '(Пх[/°;Г]) и L TA( x , t ) = 0 при x e Q \s u p p y ^ , /е [/°;7 ’]. (2.7) ££0 V / Аналогично уравнению (1.10), уравнение калибровки (2.5) относительно (p{x,t ) попеременной t является обыкновенным линейным дифференциальным уравнением 1 -го порядка с постоянным коэффициентом, то есть его решение описывается формулой Коши, применение которой дает формулу cp(x,t) =e ' V (x ,f° ) - с 2 е~'в<7' j e ^ d i ^ A { x , d ) d 9 . (2.8) r° Можно показать, что из уравнения для векторного потенциала (2.7), уравнения калибровки (2.5), уравнений баланса заряда (1.9), (1.10), а также уравнений (1.1), (1.2) и (2.1) вытекают уравнения Максвелла (1.3)-( 1. 6 ). Отметим, что уравнение калибровки (2.5) приведено в [3] и является обобщением на случай однородного изотропного проводника калибровки Лоренца , „2 dt +с di \A l (x,f) = 0 , (2.9) в которую оно переходит в случае нулевой проводимости а = 0 . В калибровке (2.5) для нахождения полей нужно найти решение только одного телеграфного уравнения (2.7) для векторного потенциала с заданным током источника в правой части, а затем найти скалярный потенциал по формуле (2.8). Таким образом, 136