Physics of auroral phenomena : proceedings of the 38th annual seminar, Apatity, 2-6 march, 2015 / [ed. board: A. G. Yahnin, N. V. Semenova]. - Апатиты : Издательство Кольского научного центра РАН, 2015. - 189 с. : ил., табл.

Уравнения Максвелла в системе СИ ( с 0 и / j 0— электрическая и магнитная постоянные) будем рассматривать как в смысле обобщенных функций из пространства так и в классическом смысле вне источника, то есть электромагнитное поле вне источника будем считать достаточно гладким, из класса функций С 1 ^ /2 \su p p y ^ ^ x [; 0 ;7’] j . Закон Ома в однородном изотропном проводнике имеет вид j c (x,t ) = erE(x,t), (1.1) материальные уравнения имеют вид D( x , t ) = ee0E ( x ,t) , B( x , t ) = n ^ H { x , t ) , (1.2) а уравнение Гаусса и уравнение Фарадея имеют, соответственно, вид dive(jc,f) = 0, (1.3) • ^ -= -ro t E ( x , t ) . (1.4) Уравнение Пуассона имеет вид: divZ)(д:,/) = ра (x ,t) + p (s) ( я , / ) , (1.5) Уравнение Максвелла можно записать в форме: r o t H ( x , t ) - ^ - = j a ( x , t) +j {s) ( x , t ) . (1.6) ot Получим уравнение баланса заряда, которое позволяет выразить плотность заряда в источнике р ^ (jc, t) и в пространстве pa (x,t) через входные параметры задачи — начальные условия и плотность тока в источнике. Обозначим через соа = сг/(^£-0) частоту' проводимости в системе СИ. Взятие div от уравнения (1.1) с учетом 1-го уравнения в (1.2) и уравнения (1.5) дает цепочку равенств diy/a- (* ,/) = crdiv£(.x,?) = а>а (дс,/)+рМ (* ,/)). (1.7) Взятие div от уравнения (1.6) с учетом уравнений(1.3)и(1.7)даетуравнение баланса заряда ~ ^X,t\ ~ ^ X,t\ coap (s) (x,t ) +coapa ( * ,/)+ divy(s) (x,t) = 0 . ( 1 . 8 ) Поскольку пространственная плотность заряда вне источника р а непрерывна по д: в области П \ suppу ^ , а р(') и являются сингулярными обобщенными функциями с носителем suppy по д:, последнее уравнение равносильно следующим отдельным уравнениям баланса заряда в пространстве и в источнике: (*>') = 0 . (1-9) Два точныхрешения уравнений Максвелла в однородном изотропном проводнике для точечного дипольного источника — — +соар ^ (х, t) + divу ^ (XJ ) - 0 • ( 1 -Ю) dt d T Эти уравнения относительно плотности заряда являются по переменной t обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями 1-го порядка с постоянным коэффициентом. Решение этих уравнений описывается формулой Коши, применение которой дает следующие формулы pa { x . t h e ~ * W p 9 ( x , t ' ) , p ^ \ x , t ) = i a° ^ p ^ ( x / ) - e - ^ j e ^ d i v j M ( x , 0 ) d 6 . ( 1 . 1 1 ) «° Первая формула хорошо известна и описывает экспоненциальное по времени затухание пространственной плотности заряда в проводнике. Вторая формула показывает, что проводимость среды существенно влияет на баланс заряда в источнике. Отметим, что искать как аналитические, так и численные решения напрямую для системы уравнений (1.1)-(1.6), (1.11) невозможно, поскольку она состоит из взаимно зацепляющихся уравнений. Поэтому для получения решений необходимо использовать потенциалы, и свести систему ( 1 . 1 )—( 1 . 6 ), ( 1 . 1 1 ) к отдельному уравнению для векторного потенциала. 135