Physics of auroral phenomena : proceedings of the 38th annual seminar, Apatity, 2-6 march, 2015 / [ed. board: A. G. Yahnin, N. V. Semenova]. - Апатиты : Издательство Кольского научного центра РАН, 2015. - 189 с. : ил., табл.

ДВА ТОЧНЫХ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА В ОДНОРОДНОМ ИЗОТРОПНОМ ПРОВОДНИКЕ ДЛЯ ТОЧЕЧНОГО ДИПОЛЬНОГО ИСТОЧНИКА 0 .В . Мингалев, И.В. Мингалев, B.C. Мингалев, О.И. Ахметов, М.Н. Мельник Полярный геофизический институт КНЦ РАН, Апатиты, Россия Аннотация. В работе выведена формула, описывающая решение задачи Коши для телеграфного уравнения в 3-мерном пространстве, аналогичная (и переходящая в нее при нулевой проводимости) формуле Кирхгофа для волнового уравнения. На основе выведенной формулы строится решение задачи о поле электрического диполя Герца с произвольной зависимостью тока от времени в бесконечном однородном изотропном проводнике. Также для случая гармонически зависящих от времени полей получено в наиболее общем случае точное решение задачи о поле горизонтального электрического диполя Герца на плоской границе раздела двух однородных изотропных сред, из которых одна обязательно является проводником. Введение Точные решения уравнений Максвелла для полей от искусственных источников в однородном изотропном проводнике имеют большое прикладное значение, в том числе для разработки и тестирования методов численного решения уравнений Максвелла. Особенно важны решения с распространяющимся в пространстве фронтом. Решение таких задач сводится к задаче Коши для 3-мерного телеграфного уравнения для векторного потенциала с нулевыми начальными условиями. Для телеграфного оператора известно фундаментальное решение (функция Грина) (например, без доказательства приведено в [1]), но до настоящего времени не была выведена формула, которая описывает решение задачи Коши, аналогично формуле Кирхгофа для волнового уравнения. В этой работе мы выводим эту формулу, и с её помощью получаем решение задачи о поле электрического диполя Герца, который включается на конечное время и имеет произвольную зависимость от времени тока в диполе. Также для тестирования численных моделей распространения сигнала в волноводе Земля-ионосфера важны точные решения (во всем пространстве) для случая поля от источника, расположенного на плоской границе между двумя различными однородными бесконечными средами. Наилучшим примером является задача о поле гармонического по времени горизонтального электрического диполя Герца, который расположен на плоской границе раздела двух однородных изотропных сред, из которых одна обязательно является проводником, а вторая может быть как проводником, так и диэлектриком ([1-5]). До настоящего времени у этой задачи было известно только приближенное решение в низкочастотном пределе (без учета тока смещения) для случая сред с одинаковой магнитной проницаемостью. В этой работе мы приводим точное решение этой задачи для общего случая с различной магнитной проницаемостью. 1. Постановка задачи нахождения электромагнитного поля от заданного нестационарного сингулярного источника внешнего тока и вывод уравнения баланса заряда Пусть однородный изотропный проводник с проводимостью а , относительными проницаемостями диэлектрической е и магнитной fi занимает область О с К 3 в пространстве М3 , в которой задан сингулярный источник тока (x,t) — сингулярная обобщенная функция, у которой носитель по х .Is ) suppy' с О является либо конечным множеством точек, либо ограниченной кривой, либо ограниченной поверхностью. Обозначим через Ю ' x[t°;Т]} пространство обычных обобщенных функций в случае ограниченной области П и пространство обобщенных функций медленного роста по х в случае неограниченной области Q (см. [ 6 ]). Обозначим через р^(дг,г) плотность заряда в источнике, которая является сингулярной обобщенной функцией с тем же носителем suppy^ с Q по л:. Подчеркнем, что эта функция заранее не известна и должна быть выражена через заданную плотность тока j ^ [ x , t ) — входной параметр задачи. Через pa ( x , t ) и j a ( x , t ) обозначим, соответственно, пространственные плотности заряда и тока вне источника, которые должны быть непрерывны по д: в области Q \ supp j ^ . *P hysics o f Auroral P henom ena", Proc. XXXVIII A nnual Seminar, A patity, pp . 134-141, 2 0 1 5 © K ola Science Centre, Russian Academy o f Science, 2015 Polar Geophysical Institute 134