Методы и средства вычислительного эксперимента / Акад. наук СССР, КНЦ, Ин-т информатики и мат. моделирования технолог. процессов. – Апатиты : Кольский научный центр АН СССР, 1990.

Здесьвведеныобозначения ■V 1 - ( ^z'n ~ *4 п~ h-RXn + c - z lh) +h- fr(xn)jyс , Gh4,i = Z2h ” Z'ih 9 ChM,2= ( 1 ~ c 'h 'frx(Xti)) 1 'G n+i,i • Неравенство (13) можноинтерпретироватьследующимобразом: приеговы полнениипогрешностиявногоинеявногометодовразличаютсянезначительно,т.е, вычисленияможноосуществлятьпоявнойформуле. 3. Обращениематрицы. Снижениеэффективностиалгоритмачисленногореше ниязадачиКошидляжесткихсистемобыкновенныхдифференциальныхуравнений связываютсвычислительнымизатратаминашагинтегрирования, возникающими привычислениииобращенииматрицыВ. Следуетзаметить, чтозатрудненияреа лизациинеявнойпроцедуры( 1 2 ) связанынетолькосвычислительнымизатрата ми, ноисединственностьюисуществованиемобратнойматрицыВ-^. Действительно,еслиматрицаВокажетсявырожденной,т.е. определителье равеннулю, тообратнаяейматрицанесуществуетиприменениеполуявногоме тодаинтегрированиясистемы(I) становитсяневозможным. Ачисленноерешение задачиКоши(I) - (2) вэтомслучаеможетпривестикневернымрезультатам. Такимобразом, встаетвопросовырожденностиматрицыВ, разрешениекото рогосводитсяквычислениюопределителя. Однаковэтомслучае, скакойбы точностьюнепроводилисьвычисления, придостаточнобольшомразмерематрицы, вследствиенакопленияошибоквычисления, например, ошибококругления, можно получитьзначениеопределителя, какугодноотличающеесяотистинного. Поэтому длятого, чтобыневыяснять, плохообусловленаматрицаВилинет, можновмес тообратнойматрицыиспользоватьпсевдообратную матрицу Мура-ПенроузаВ+ , построеннуюнаосновесингулярногоразложения/ 8 /: В = U - S- VT , (15) гдеU. - ортогональнаяМхМ- матрица, V - ортогональная N *N — матрица, S - диагональная M*N - матрица, элементыкоторойтаковы, что [ S,- > О, L = і иназываютсясингулярнымичислами.ПсевдообратнаяматрицаМура-ПенроузаВ 4 для матрицыВудовлетворяетследующимусловиям: 1. ВВ+В= В, 2. В+ВВ+ = В+ , 3. ВВ+ - симметрична, 4. В+В - симметрична, (17) всегдасуществуетиединственна/9/. ЕслиВ- квадратнаяиневырожденная матрица, товсее сингулярныечислаотличныотнуляиВ* = В~^. ЕслижеВ- прямоугольнаяневырожденнаяматрица, топсевдообратнаяимеетвид В+ = (ВТВГІВТ. (18) Вслучае, когдаматрицаВнеимеетполногоранга, такогопростогопред ставлениянет. Отметимтакже, чтоэлементыпсевдообратнойматрицынеявляютсянепрерыв нымифункциямиэлементовданнойматрицы. Ивпсевдообратнойдляменяющейся 49