Естественнонаучные проблемы Арктического региона : седьмая региональная научная студенческая конференция, Мурманск, 11-12 мая 2006г. : труды конференции. Мурманск, 2007.

чающиеся в минеральных и органических структурах, представляют узкий класс. Их перечисление указанными способами не целесообразно. Так, среди простых 12-эдров (7595) всего один - додекаэдр - не содержит 3- и 4-угольных граней. Для еще более узкого класса простых полиэдров, на которых разрешены только 5- и 6 -угольные грани (фуллеренов) Д.Г. Степенщиковым разработан алгоритм их последова­ тельного присоединения друг к другу. В силу крайне ограниченного разнообразия граней он оказался эффективным и позволил получить полное многообразие 12-... 32-гранных и специальные выборки 33-... 52-гранных фуллеренов. Алгоритм может быть использован для генерирования полиэдров без 3- и 4- и модифицирован для присоединения 7- ... п-угольных граней. Соотношение различных классов полиэдров и соответствующих алго­ ритмов генерирования показано на рис. 1 . Триангуляция сферы с последующим Алгоритмы Е.С. Федорова, П. Энгеля и Д.Г. Степенщикова Рис. 1. Соотношение различных классов полиэдров и алгоритмов их генерирования. Вопрос состоит в том. как рационально перечислить все простые полиэдры без 3- и 4-угольных граней Вывод диофантова уравнения Эбергардта для f3 = f4 = О Первой теоремой в области комбинаторной геометрии выпуклых многогранников является теорема Эйлера: V + F = Е + 2, (1) где V - число вершин, F - граней, Е - ребер. Если полиэдр простой, то 3 V = 2 Е, (2) так как в каждой вершине сходится ровно 3 ребра, но каждое ребро соединяет две верши­ ны. Подставляя (2) в (1), получаем: 3 F = Е + 6 . (3) Обозначая ч е р е з ... числа 3-, 4-, 5-угольных и т.д. граней, получим: F = /з +А + / 5 +/б + ... , 2 Е = 3 / з + 4 / 4 + 5 / 5 + 6 / 6+ . . . , последнее - потому, что каждое ребро, общее для двух граней, сосчитано дважды. Подста­ вив значения F и Е в (3), получим: 6 1