Естественнонаучные проблемы Арктического региона : седьмая региональная научная студенческая конференция, Мурманск, 11-12 мая 2006г. : труды конференции. Мурманск, 2007.

ОБ ОДНОМ УЗКОМ КЛАССЕ ВЫПУКЛЫХ ПОЛИЭДРОВ Т.Д. Сотникова, Д.Г. Степенщиков, Ю.Л. Войтеховский Геологический институт КНЦ РАН e-mail: voyt@geoksc.apatity.ru Для целей кристаллографии важно знать все выпуклые полиэдры с заданным чис­ лом вершин, ребер и граней. Систематическое перечисление их комбинаторных типов бы­ ло начато Т.П. Киркманом (Kirkman, 1862/63), описавшим все 4-.... 8 -эдры и дуальные к ним 4- ... 8 -вершинники. Е.С. Федоров (Федоров, 1893) изобразил все 4- ... 7-, а также простые (в каждой вершине сходятся ровно три грани) 8 - и 9-эдры. О. Гермес (Hermes, 1899) нарисовал все 4 - ... 8 -, М. Брюкнер (Bruckner, 1900) - простые 4 - ... 10-эдры, К.Дж. Бувкэмп (Bouwkamp, 1946) - полиэдры с числом ребер до 14. Д.У. Грейс (Grace, 1965, не- опубл.) нашел число простых 4 - ... 11-эдров, Р. Боуэн и С. Фиск (Bowen, Fisk, 1969) - чис­ ла 4- .. . 12-вершинных триангуляций на сфере. Они совпадают с числами дуальных к ним простых 4 - ... 12-эдров. П.Дж. Федерико (Federico, 1969) установил полное число 9-эдров. Д. Бриттон и Дж. Дюнитц (Britton, Dunitz, 1973) изобразили все 4- ... 8 -вершинники, ІІ.Дж. Федерико (Federico, 1975) - 4- ... 8 -эдры. Число 10-эдров установлено в работе (Duijvestijn and Federico, 1981), 11-, 12-ипростых 13-эдров-в работах (Engel, 1982,1994). В работах (Войтеховский, 1998а, б; Voytekhovsky and Stepenshchikov, 2005,2006) повторе­ ны результаты указанных авторов, исправлены ошибки и перечислены все 4- . . . 12- и про­ стые 13-... 16-эдры. Все они охарактеризованы точечными группами симметрии. Алгоритмы получения выпуклых полиэдров Для генерирования полного комбинаторного многообразия выпуклых полиэдров известен федоровский алгоритм. Из уравнения Эбергардта (см. далее) следует, что невоз­ можен выпуклый полиэдр без 3-, 4- и 5-угольных граней одновременно. Для получения таких граней сечениями исходного тетраэдра Е.С. Федоров предложил три процедуры: а) отсечение вершины 3-угольной гранью; |3) отсечение ребра 4-угольной гранью; у) отсе­ чение двух смежных ребер 5-угольной гранью. Их рациональное применение состоит в следующем. Операция а применяется для получения полиэдров, в которых есть хотя бы одна 3-угольная грань; р - для получения полиэдров, на которых нет 3-угольных, но есть хотя бы одна 4-угольная грань; у - для получения полиэдров, на которых нет 3- и 4-угольных, но есть хотя бы одна 5-угольная грань. При этом из уравнения Эбергардта сле­ дует, что в последнем случае на полиэдре существует не менее 12 таких граней. Простей­ ший пример - додекаэдр. Выводя полиэдры вручную, Е.С. Федоров применил у всего один раз - для получения додекаэдра. Как выяснилось позднее, среди простых 13-эдров таковых нет, а далее их число нарастает очень медленно. В статье (Войтеховский, 19986) пересчи­ таны все такие формы вплоть до 20-эдров. Для получения непростых полиэдров из про­ стых с тем же числом граней Е.С. Федоров применяет операцию юредукции (стягивания) ребра. Еще один способ получения простых полиэдров - триангуляция сферы, т.е. разбие­ ние ее поверхности на треугольники (Bowen, Fisk, 1969). Он позволяет получать все сим- плициальные полиэдры, от дуальных к простым. ГІ. Энгелем построен алгоритм, во многом похожий на федоровский. Специфика подхода заключается в оригинальном описании комбинаторных типов полиэдров. Но она привела автора к ошибкам при подсчете их числа в некоторых классах. Названные методы предназначены для генерирования полного комбинаторного многообразия выпуклых полиэдров. Но полиэдры без 3- и 4-гуольных граней, часто встре- 60