Автоматизация научных исследований: сборник научных трудов.

узлов ІОООО восьмиузловыми конечными элементами не превышает .10%. Р а з ­ мещение такой маірицы в рабочей памяти даже при минимальной ширине полосы ленты потребует 7 5 м. Очевидно, что следует хранить только ненулевые коэф­ фициенты и адреса их местонахождения в матрице. Авторами статьи разработаны подпрограммы S M T D и M A T R , реа­ лизующие формирование матрицы системы линейных уравнений только с ненуле­ выми коэффициентами и ее решение. В подпрограмме S M T D для создания матрицы генерируется список, показывающий связи, которые есть между узла­ ми. Формируется два массива: первый массив содержит число узлов, с которы­ ми связан любой один узел, а второй массив - идентификаторы этих узлов. Подпрограмма реализована для задач, решаемых методом конечных элементов с восьмиузловыми элементами. В этом случае каждый узел будет связан, не более чем с 2 6 другими узлами, но и для прочих задач, использующих сеточ­ ное разбиение области, максимальное число связей нетрудно установить. Поско­ льку формируемая матрица симметричная, достаточно запоминать верхнюю ее половину и число связей с узлами, номера которых больше рассматриваемого очередного узла. При создании матрицы вычисляется ее коэффициент, а затем с помощью двух вышеприведенных массивов осуществляется поиск местоположе­ ния коэффициента в матрице. Аналогичный поиск производится и при решении системы уравнений с такой матрицей. Прямой метод решения полученной систе­ мы неприменим в связи с тем , что в результате преобразований, необходимых при прямом методе, изменяются адреса ненулевых коэффициентов, поэтому в подпрограмме M A T R реализован итерационный метод последовательной верх­ ней релаксации для решения системы А и = Ь , ( і ) А - симметричная положительно определенная матрица. где Матрица А разлагается на три матрицы А = D - С т - С а 1 1 • • • О D= О а 22 • . о ’ с ъ а 2 1 ° * • * О • • • О а п п _а п1* * а п, этом C L = с Т , и Ч Т О следует из О ' О _ О С = и ° а 12* * О . . . О а О I n n - l , n О ная процедура может быть записана как D u ( п + 1 ) = из ( Ст и ( п + 1 ) ъ +С u ^ n ^ + B ) + ( l - C o ) D u ^ n \ ( 2 ) где п - номер итерации; U) - параметр релаксации, или, преобразуя: ( п + 1 ) ( п ) и = L u где L = ( l - W D _ 1 C L ) - 1 ( a )D“ 1 C u + ( 1 - < о ) I ) ; В ! = ( i -WD 1 C l ) - 1 u )D_ 1 B; 1 ’ ( 3 ) I - единичная матрица. Сходимость рассматриваемого итерационного процесса обеспечена при значени­ ях параметра О < О) < 2. Такой интервал для W следует из необходимого и достаточного условия сходимости итерационной процедуры || L |І2 < X. Поскольку, как показал Кахан / 2 / , I L І|^> I СО — 1 1 , то О Ш < 2, 7 3